2004-重庆文-01 单-对数函数定义域

本题导读

本题考查对数函数的定义域，以及对数不等式与底数关系的处理。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 函数 $y=\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)}$ 的定义域是()

A. $[1,+\infty )$　　　　B. $\left(\frac{2}{3},+\infty \right)$　　　　C. $\left[\frac{2}{3},1\right]$　　　　D. $\left(\frac{2}{3},1\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根式有意义要求 ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)⩾0$。
2. 底数 $\frac{1}{2}<1$，故 $0<3x-2⩽1$。
3. 解得 $\frac{2}{3}<x⩽1$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

要使根式有意义，需 ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)⩾0$，且真数 $3x-2>0$.因为底数 $\frac{1}{2}<1$，对数随真数递减，故 ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)⩾0$ 等价于 $0<3x-2⩽1$，解得 $\frac{2}{3}<x⩽1$，所以定义域为 $\left(\frac{2}{3},1\right]$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数定义域
2. 核心方法：$0<3x-2⩽1$ 即 $\frac{2}{3}<x⩽1$，定义域 $\left(\frac{2}{3},1\right]$
3. 避坑指南：底数 $\frac{1}{2}<1$ 时对数随真数递减，故 ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x-2)⩾0$ 等价于 $0<3x-2⩽1$，勿漏真数大于零

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对数函数定义域，教材”对数函数”
2. 结论推广: 一般化：${\log }_{a}f(x)$ 定义域为 $f(x)>0$，再按底数 $a$ 与 $1$ 的大小解不等式；真数大于零，底数小于 1 时对数单调递减

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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