2004-湖南文-01 单-对数函数定义域

本题导读

本题考查对数函数的定义域，以及分式不等式的求解。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 函数 $y=\lg \left(1-\frac{1}{x}\right)$ 的定义域为()

A. $\{x\mid x<0\}$　　　B. $\{x\mid x>1\}$　　　C. $\{x\mid 0<x<1\}$　　　D. $\{x\mid x<0$ 或 $x>1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对数真数大于零：$1-\frac{1}{x}>0$，即 $\frac{x-1}{x}>0$。
2. 解得分母分子同号：$x>1$ 或 $x<0$。
3. 定义域 $\{x\mid x<0$ 或 $x>1\}$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

要使 $y=\lg \left(1-\frac{1}{x}\right)$ 有意义，需 $1-\frac{1}{x}>0$，即 $\frac{x-1}{x}>0$.该分式不等式等价于 $x(x-1)>0$，解得 $x<0$ 或 $x>1$，所以定义域为 $\{x\mid x<0$ 或 $x>1\}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数定义域
2. 核心方法：$1-\frac{1}{x}>0$ 即 $\frac{x-1}{x}>0$，解得 $x<0$ 或 $x>1$
3. 避坑指南：对数真数大于零；$\frac{x-1}{x}>0$ 分 $x>1$ 与 $x<0$ 两段，勿漏 $x<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对数函数定义域，教材”对数函数”
2. 结论推广: 一般化：$\lg \frac{f(x)}{g(x)}$ 定义域为 $f(x)g(x)>0$；真数大于零，分式化积判符号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-陕西文-02 单-对数函数定义域
• 2010-广东卷文-02 单-对数函数定义域
• 2006-湖南文-01 单-根式对数定义域