2004-福建理-15 填-相互独立事件的概率

本题导读

本题考查相互独立事件的概率，以及独立重复试验。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(理)） 某射手射击 1 次，击中目标的概率是 $0.9$.他连续射击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论： ① 他第 3 次击中目标的概率是 $0.9$； ② 他恰好击中目标 3 次的概率是 $0.9^3\times 0.1$； ③ 他至少击中目标 1 次的概率是 $1-0.1^4$. 其中正确结论的序号是 ①③.（写出所有正确结论的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析结论 ①（独立事件的概率稳定性）：各次射击相互独立，意味着每一次射击都是一个完全相同且互不干扰的独立随机事件。无论进行到第几次，单次击中目标的概率始终恒定。
2. 分析结论 ②（恰好发生 $k$ 次的二项分布模型）：
   • 连续射击 4 次，恰好击中 3 次，属于标准的 4 重伯努利试验。
   • 除了要考虑 3 次击中（$0.9^3$）和 1 次未击中（$0.1^1$）的概率乘积外，由于这 3 次击中可以发生在 4 次射击中的任意位置，必须引入组合数 ${\text{C}}_4^3$ 进行位置排布计数。
3. 分析结论 ③（“至少”型概率的对立转换）：“至少击中 1 次”的对立事件是“4 次全部没有击中目标”。利用对立事件减法通式 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 即可快速判定。

✅【答案】

Success

①③

✍【详细解析】

Abstract

① 结论 ① 的正误判定 因为题目明确指出“各次射击是否击中目标相互之间没有影响”，这满足概率论中相互独立事件的严格定义。 因此，每一次射击中靶的单次概率都是均等且互不污染的。 该射手第 1 次、第 2 次、第 3 次、第 4 次射击，单次击中目标的概率均恒等于初始设定的 $0.9$． 故结论 ① 正确．

② 结论 ② 的正误判定 连续射击 4 次，每次击中的概率 $p=0.9$，未击中的概率 $q=1-0.9=0.1$． 设击中的次数为随机变量 $X$，则 $X$ 服从参数为 $n=4,p=0.9$ 的二项分布，即 $X\sim B(4,0.9)$． “恰好击中目标 3 次”即要求计算 $X=3$ 时的概率。套用二项分布公式： $P(X=3)={\text{C}}_4^3\times p^3\times q^{4-3}$ $P(X=3)={\text{C}}_4^3\times 0.9^3\times 0.1^1=4\times 0.9^3\times 0.1$ 而结论 ② 给出的代数式为 $0.9^3\times 0.1$，漏掉了核心的位置组合数系数 ${\text{C}}_4^3=4$（该式仅代表了前 3 次中靶、最后 1 次脱靶这一特定单一样本路径的概率）。 故结论 ② 错误．

③ 结论 ③ 的正误判定 “至少击中目标 1 次”对应的对立事件是“4 次射击全部脱靶（即击中 0 次）”． 单次未击中的概率为 $0.1$．根据独立事件的概率乘法公式，连续 4 次全部未击中的概率为： $P(\text{4 次均未击中})=0.1\times 0.1\times 0.1\times 0.1=0.1^4$ 根据对立事件性质，目标事件的概率为： $P(\text{至少击中 1 次})=1-P(\text{4 次均未击中})=1-0.1^4$ 这与结论 ③ 给出的代数表达式完全契合． 故结论 ③ 正确．

综上所述，所有正确结论的序号是 ①③．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相互独立事件单次度量不随试验推进而改变的本质；二项分布通式 $P(X=k)={\text{C}}_n^k{p}^k{q}^{n-k}$ 中组合数运算的位置计数作用；“至少”型组合概率通过对立事件 $1-q^n$ 的降维转化。
2. 核心方法：二项分布模型分析法、对立事件化归法。
3. 避坑指南：
   • 在二项分布公式中遗漏组合数系数：这是概率解答题与填空题中最普遍的顽固性笔误。很多学生直观地认为 3 次中 1 次不中就是 $0.9^3\times 0.1$，忽视了这组中靶可能发生在“中中中孬”、“中中孬中”、“中孬中中”、“孬中中中”共 4 种相异的时间拓扑结构，凡计算“恰好发生 $k$ 次”的概率，必须强制检查式子前方是否配有组合数 ${\text{C}}_n^k$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查初等概率度量（相互独立事件与伯努利试验）的标准填空压轴题，属于低难度常规题。
2. 结论推广: $n$ 次独立重复试验中至少成功一次的概率为 $1-(1-p{)}^n$，其中 $p$ 为单次成功的概率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2003-天津文-20 解-独立事件概率
• 2005-全国卷I文-20 解-种子发芽概率