2004-湖南文-02 单-直线倾斜角

本题导读

本题考查直线的倾斜角与斜率，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 设直线 $ax+by+c=0$ 的倾斜角为 $\alpha$，且 $\sin \alpha +\cos \alpha =0$，则 $a$、$b$ 满足()

A. $a+b=1$　　　　　B. $a-b=1$　　　　　C. $a+b=0$　　　　　D. $a-b=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin \alpha +\cos \alpha =0$，即 $\tan \alpha =-1$。
2. 斜率 $k=\tan \alpha =-\frac{a}{b}=-1$。
3. 得 $a=b$，即 $a-b=0$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \alpha +\cos \alpha =0$ 得 $\tan \alpha =-1$（$\alpha \in [0,\pi )$，故 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$）．直线的斜率 $k=\tan \alpha =-\frac{a}{b}$，所以 $-\frac{a}{b}=-1$，即 $a=b$，亦即 $a-b=0$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线倾斜角
2. 核心方法：倾斜角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha +\cos \alpha =0$，得 $\tan \alpha =-1$，即 $-\frac{a}{b}=-1$，$a=b$，$a-b=0$
3. 避坑指南：斜率 $k=\tan \alpha =-\frac{a}{b}$；$\sin \alpha +\cos \alpha =0$ 在 $\alpha \in [0,\pi )$ 内仅 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线倾斜角与斜率，教材”直线”
2. 结论推广: 一般化：斜率 $k=\tan \alpha =-\frac{A}{B}$，$\alpha$ 由 $\tan$ 与象限定；由三角函数方程求斜率，再由 $k=-\frac{a}{b}$ 定 $a,b$ 关系

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-11 填-直线倾斜角
• 2007-上海卷文-03 填-直线倾斜角
• 2008-大纲Ⅰ文-04 单-切线倾斜角