2004-浙江文-12 单-复合函数不动点

本题导读

本题考查复合函数与方程有解的联系，以及函数的不动点。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是定义在实数集 $\mathbf{R}$ 上的函数，且方程 $x-f[g(x)]=0$ 有实数解，则 $g[f(x)]$ 不可能是()

A. $x^2+x-\frac{1}{5}$　　　　B. $x^2+x+\frac{1}{5}$　　　　C. $x^2-\frac{1}{5}$　　　　D. $x^2+\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $x-f(g(x))=0$ 有解，存在 $x_0$ 使 $f(g(x_0))=x_0$。
2. 令 $y_0=g(x_0)$，则 $g(f(y_0))=g(x_0)=y_0$，故 $g(f(x))$ 必有不动点。
3. B 项 $x^2+x+\frac{1}{5}=x$ 即 $x^2+\frac{1}{5}=0$ 无实解，故不可能，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由方程 $x-f(g(x))=0$ 有实数解，存在实数 $x_0$ 使 $f(g(x_0))=x_0$，令 $y_0=g(x_0)$，则 $g(f(y_0))=g(x_0)=y_0$，因此函数 $g(f(x))$ 必须有实数不动点。若选项 B 成立，则不动点方程为 $x^2+x+\frac{1}{5}=x$，即 $x^2+\frac{1}{5}=0$，没有实数解，所以选项 B 不可能，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数不动点
2. 核心方法：由 $x-f(g(x))=0$ 有解，存在 $x_0$ 使 $f(g(x_0))=x_0$；令 $y_0=g(x_0)$ 则 $g(f(y_0))=y_0$，故 $g(f(x))$ 必有不动点；B 项 $x^2+x+\frac{1}{5}=x$ 即 $x^2+\frac{1}{5}=0$ 无实解，不可能
3. 避坑指南：不动点即 $h(x)=x$ 有解；逐项把 $g(f(x))=x$ 化为二次方程判判别式，B 项判别式 $-\frac{4}{5}<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复合函数与不动点，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：$x=f(g(x))$ 有解 $\Rightarrow$ $g(f(x))=x$ 有解（存在不动点）；把”方程有解”转化为”函数有不动点”，逐项判二次方程判别式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-20 解-不动点压缩映射新定义
• 2012-上海卷文-14 填-递推数列与不动点