2001-上海文-22 解-数列发生器与不动点

本题导读

本题考查函数迭代与数列发生器。核心在于逐次迭代求项，用不动点求常数数列，并分析负项的迭代规律。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 对任意函数 $f(x)$，$x\in D$，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ① 输入数据 $x_0\in D$，经数列发生器输出 $x_1=f(x_0)$； ② 若 $x_1\notin D$，则数列发生器结束工作；若 $x_1\in D$，则将 $x_1$ 反馈回输入端，再输出 $x_2=f(x_1)$，并依此规律继续下去. 现定义 $f(x)=\frac{4x-2}{x+1}$.

(1) 若输入 $x_0=\frac{49}{65}$，则由数列发生器产生数列 $\{x_n\}$.请写出数列 $\{x_n\}$ 的所有项；

(2) 若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据 $x_0$ 的值；

(3) 是否存在 $x_0$，在输入数据 $x_0$ 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出 $x_0$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐次计算 $x_1,x_2,x_3,\cdots$ 直到离开定义域。
2. 常数数列需 $x_0=f(x_0)$，解不动点方程。
3. 分析负项迭代后正负的变化。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{11}{19},\frac{1}{5},-1$

(2) $x_0=1$ 或 $x_0=2$

(3) 不存在

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\frac{4x-2}{x+1}$ 的定义域为 $D=\{x\in \mathbf{R}\mid x\ne -1\}$． (1) 依次计算：$x_1=f\left(\frac{49}{65}\right)=\frac{\frac{196}{65}-2}{\frac{49}{65}+1}=\frac{\frac{66}{65}}{\frac{114}{65}}=\frac{11}{19}$；$x_2=f\left(\frac{11}{19}\right)=\frac{\frac{44}{19}-2}{\frac{11}{19}+1}=\frac{\frac{6}{19}}{\frac{30}{19}}=\frac{1}{5}$；$x_3=f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{\frac{4}{5}-2}{\frac{1}{5}+1}=\frac{-\frac{6}{5}}{\frac{6}{5}}=-1$．因为 $x_3=-1\notin D$，发生器在输出 $x_3$ 后结束，所以数列的所有项为 $\frac{11}{19},\frac{1}{5},-1$． (2) 要得到无穷的常数数列，初始数据必须是函数的不动点，即 $x_0=f(x_0)$．因为 $x_0\ne -1$，所以 $x_0=\frac{4x_0-2}{x_0+1}⟺x_0^2-3x_0+2=0⟺(x_0-1)(x_0-2)=0$，因此 $x_0=1$ 或 $x_0=2$，这两个值均在定义域内，且确实分别产生恒为 $1$、恒为 $2$ 的无穷常数数列． (3) 不存在这样的 $x_0$．事实上，若某一项 $x_n<0$，分两种情况讨论：当 $x_n<-1$ 时，分子 $4x_n-2<0$、分母 $x_n+1<0$，故 $x_{n+1}=f(x_n)>0$；当 $-1<x_n<0$ 时，分母为正，且 $f(x_n)<-1⟺4x_n-2<-x_n-1⟺5x_n<1$，由 $x_n<0$ 恒成立，故 $x_{n+1}<-1$，再由前一种情况得 $x_{n+2}>0$．因此负数项之后至多再出现一项负数，不可能形成各项均为负数的无穷数列．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列发生器与不动点

核心方法：$f(x)=\frac{4x-2}{x+1}$，$D=\{x\mid x\ne -1\}$；迭代得 $x_1=\frac{11}{19}$、$x_2=\frac{1}{5}$、$x_3=-1\notin D$ 终止；不动点 $x=f(x)$ 得 $x_0=1$ 或 $2$；负数项后至多再一项负数，不存在全负无穷数列

避坑指南：迭代计算 + 不动点 + 负项分析

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的迭代

结论推广：一般地，不动点 $x=f(x)$，负项迭代分析正负

方法推广：迭代 + 不动点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-12 单-复合函数不动点
• 2006-广东卷-20 解-不动点压缩映射新定义