2004-北京卷文-04 单-不等式性质判断

本题导读

本题考查不等式的性质，以及由大小关系与乘积符号推导。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 已知 $a,b,c$ 满足 $c<b<a$ 且 $ac<0$，那么下列选项中一定成立的是()

A. $ab>ac$　　　B. $c(b-a)<0$　　　C. $c{b}^2<a{b}^2$　　　D. $ac(a-c)>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $ac<0$ 且 $c<b<a$ 得 $a>0,c<0$。
2. $b$ 符号不定，可能为 $0$。
3. 用 $c<b$ 两边同乘正数 $a$ 得 $ab>ac$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $ac<0$ 知 $a,c$ 异号，又 $c<b<a$ 得 $c<0<a$，故 $a>0$.因 $c<b$，两边同乘正数 $a$ 得 $ac<ab$，即 $ab>ac$，A 一定成立。其余各项：$c(b-a)$ 中 $c<0$、$b-a<0$，积 $>0$，B 不成立；$b$ 可能为 $0$，则 $c{b}^2=a{b}^2=0$，C 不成立；$ac(a-c)$ 中 $ac<0$、$a-c>0$，积 $<0$，D 不成立。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式性质判断
2. 核心方法：$c<b<a$ 且 $ac<0$，知 $a>0,c<0$；$b$ 符号不定；$c(b-a)<0$：$c<0,b-a<0$，积 $>0$，不成立；选 A 需 $ab>ac⟺a(b-c)>0$，$a>0,b>c$，成立
3. 避坑指南：$ac<0$ 且 $c<b<a$ 推出 $a>0,c<0$；$b$ 可为 $0$，故 $c{b}^2<a{b}^2$ 未必成立；用”$c<b$ 乘正 $a$“得 $ab>ac$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于不等式性质，教材”不等式”
2. 结论推广: 一般化：已知大小关系与乘积符号，用”正数乘不等号方向不变”推导；先由 $ac<0$ 与 $c<b<a$ 定 $a>0,c<0$，$b$ 符号需单独讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-14 单-不等式比较大小
• 2013-北京卷文-02 单-不等式性质
• 2014-四川卷文-05 单-不等式性质