2004-全国卷IV文-06 单-等差数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1+a_2+a_3=-24$，$a_{18}+a_{19}+a_{20}=78$，则此数列前 $20$ 项和等于()

A. $160$　　　　　　B. $180$　　　　　　C. $200$　　　　　　D. $220$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_1+a_2+a_3=3a_2=-24$，$a_2=-8$。
2. $a_{18}+a_{19}+a_{20}=3a_{19}=78$，$a_{19}=26$。
3. $d=\frac{a_{19}-a_2}{17}=2$，求 $a_1,a_{20}$，$S_{20}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_1+a_2+a_3=3a_2=-24$ 得 $a_2=-8$；由 $a_{18}+a_{19}+a_{20}=3a_{19}=78$ 得 $a_{19}=26$.故公差 $d=\frac{a_{19}-a_2}{17}=2$，$a_1=a_2-d=-10$，$a_{20}=a_1+19d=28$.前 $20$ 项和 $S_{20}=\frac{20}{2}(a_1+a_{20})=10\times 18=180$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列求和
2. 核心方法：$a_1+a_2+a_3=3a_2=-24\Rightarrow a_2=-8$；$a_{18}+a_{19}+a_{20}=3a_{19}=78\Rightarrow a_{19}=26$；$d=\frac{a_{19}-a_2}{17}=2$，$a_1=-10$，$S_{20}=10(a_1+a_{20})=180$
3. 避坑指南：三项和等于中项的三倍；$d=\frac{a_{19}-a_2}{19-2}=2$，再求 $a_1$、$a_{20}$ 求和

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等差数列求和，教材”等差数列”
2. 结论推广: 一般化：连续三项和等于中项的三倍，$S_{2n+1}=(2n+1)a_{n+1}$；用中项与公差求 $a_1,a_n$，再套求和公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-06 单-等差数列基本量求和
• 2006-全国卷I文-05 单-等差数列中项求和
• 2007-四川文-07 单-等差数列基本量求和