2002-北京卷文-14 填-等差与等比综合

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的综合，以及等比中项。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，公差不为零，且 $a_1$，$a_3$，$a_{11}$ 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_3=2+2d$，$a_{11}=2+10d$。
2. 成等比 $a_3^2=a_1{a}_{11}$ 求 $d$，再求公比。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

设公差为 $d$，则 $a_3=2+2d$，$a_{11}=2+10d$．由 $a_1,a_3,a_{11}$ 成等比得 $a_3^2=a_1{a}_{11}$，即 $(2+2d{)}^2=2(2+10d)$，化简 $4d^2-12d=0$，$d=0$（舍）或 $d=3$．公比 $q=\frac{a_3}{a_1}=\frac{2+6}{2}=4$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差与等比综合

核心方法：$a_3=2+2d$，$a_{11}=2+10d$，等比得 $(2+2d{)}^2=2(2+10d)$，$d=0$（舍）或 $d=3$，公比 $\frac{a_3}{a_1}=\frac{2+6}{2}=4$

避坑指南：等差三项成等比列方程求公差再求公比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差与等比

结论推广：一般地，等差三项成等比列方程求公差

方法推广：等比中项列方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2003-上海文-03 填-等差数列求和
• 2003-大纲文-04 单-等差数列求项数
• 2004-全国卷IV文-06 单-等差数列求和