2004-全国卷II理-20 解-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于空间直角坐标系法、几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $\angle ACB=90^{\circ }$， $AC=1$， $CB=\sqrt{2}$，侧棱 $A{A}_1=1$，侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 的两条对角线交点为 $D$， $B_1{C}_1$ 的中点为 $M$.

(1) 求证： $CD\perp \text{平面 }BDM$；

(2) 求面 $B_{1}BD$ 与面 $CBD$ 所成二面角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问线面垂直逻辑：由于 $CD\perp \text{平面 }BDM$，只需证明 $CD$ 垂直于平面内的两条相交直线（如 $BD$ 和 $DM$）。通过直三棱柱中各边长关系，利用空间几何特征或建立空间直角坐标系，通过向量内积为 0 证明垂直。
2. 第(2)问向量建系法：由于 $\angle ACB=90^{\circ }$ 且侧棱垂直于底面，以 $C$ 为原点， $CA,CB,C{C}_1$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴建立标准右手空间直角坐标系。
3. 坐标标定与法向量求解：计算出关键点 $B,B_1,D,M,C$ 的坐标。面 $B_{1}BD$ 即为侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$，其法向量可通过几何观察或向量求导直接得出。再通过内积归零法求出平面 $CBD$ 的法向量。
4. 二面角余弦计算：计算两法向量夹角的余弦值，根据图形的凹凸空间方位，将其转化为二面角的大小。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱垂直于底面，故 $C{C}_1\perp \text{平面 }ABC$。 又 $\angle ACB=90^{\circ }$，即 $CA\perp CB$。 故 $CA,CB,C{C}_1$ 三条射线两两垂直。 以 $C$ 为空间坐标原点，射线 $CA$ 方向为 $x$ 轴正方向，射线 $CB$ 方向为 $y$ 轴正方向，射线 $C{C}_1$ 方向为 $z$ 轴正方向，建立标准右手空间直角坐标系 $C-xyz$。

根据题意，已知各棱长度度规为： $AC=1,CB=\sqrt{2},C{C}_1=A{A}_1=1$。 由此，关键各点的坐标精确标定如下：

• $C(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $B(0,\sqrt{2},0)$
• $C_1(0,0,1)$, $A_1(1,0,1)$, $B_1(0,\sqrt{2},1)$ 因为 $D$ 是侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 的对角线交点，即线段 $A{B}_1$ 的中点，由中点坐标公式： $D\left(\frac{1+0}{2},\frac{0+\sqrt{2}}{2},\frac{0+1}{2}\right)⟹D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)\text{（式1）}$ 因为 $M$ 是 $B_1{C}_1$ 的中点，由中点坐标公式： $M\left(\frac{0+0}{2},\frac{\sqrt{2}+0}{2},\frac{1+1}{2}\right)⟹M\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)\text{（式2）}$

(1) 证明： 根据各点坐标，写出核心控制向量： $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)\text{（式3）}$ $\overrightarrow{BD}=D-B=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)\text{（式4）}$ $\overrightarrow{MD}=D-M=\left(\frac{1}{2}-0,\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}-1\right)=\left(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right)\text{（式5）}$

运用平面向量数量积运算对垂直特性进行检验： $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0⟹CD\perp BD\text{（式6）}$ $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times 0+\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+0-\frac{1}{4}=0⟹CD\perp MD\text{（式7）}$

因为 $BD\cap MD=D$，且 $BD,MD\subset \text{平面 }BDM$。 由（式6）与（式7）可知，直线 $CD$ 垂直于平面 $BDM$ 内的两条相交直线。 根据空间线面垂直判定定理，可严格证明： $CD\perp \text{平面 }BDM$

(2) 解： 面 $B_{1}BD$ 即为三棱柱的侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$。 由于底面直角三角形 $△ABC$ 中，斜边 $AB$ 的长为 $\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$。 利用平面几何关系，作垂线不难证得，平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 的一个单位法向量 ${\vec{n}}_1$ 等价于底面上垂直于 $AB$ 的向量。 设 ${\vec{n}}_1=(x,y,0)$，其与 $\overrightarrow{AB}=(-1,\sqrt{2},0)$ 垂直： ${\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AB}=0⟹-x+\sqrt{2}y=0⟹\text{令 }y=1,x=\sqrt{2}$ 故可取平面 $B_{1}BD$ 的一个有效法向量为： ${\vec{n}}_1=\left(\sqrt{2},1,0\right)\text{（式8）}$

下面求解平面 $CBD$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$。 根据坐标标定，写出面内两个方向向量： $\overrightarrow{CB}=\left(0,\sqrt{2},0\right)\text{（式9）}$ $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)\text{（式10）}$ 设平面 $CBD$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，满足齐次内积方程组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CB}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CD}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\sqrt{2}{y}_2=0⟹y_2=0\\ \frac{1}{2}{x}_2+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_2+\frac{1}{2}{z}_2=0⟹x_2+z_2=0\end{array}\text{（式11）}$ 令 $x_2=1⟹z_2=-1$。 由此求得平面 $CBD$ 的一个有效法向量为： ${\vec{n}}_2=\left(1,0,-1\right)\text{（式12）}$

利用欧氏内积余弦公式计算两法向量的夹角余弦值： $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{\sqrt{2}\times 1+1\times 0+0\times (-1)}{\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}$ $=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{（式13）}$

观察几何空间图形，面 $B_{1}BD$ 与面 $CBD$ 所成的二面角为锐二面角。 故二面角的大小 $\theta$ 满足： $\cos \theta =\left|\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 用反三角函数符号表达封闭解： $\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

答：面 $B_{1}BD$ 与面 $CBD$ 所成二面角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由直棱柱特征与直角底面确定建系基底；对角线交点及中点的坐标表示；两平面法向量的夾角计算。
2. 核心方法：空间直角坐标系法（向量法）。
3. 避坑指南：
   • 在求平面 $B_{1}BD$（即侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$）的法向量 ${\vec{n}}_1$ 时，切勿盲目认为法向量坐标分量中 $z=0$ 就等价于平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴。该侧面在底面上的投影是倾斜斜线 $AB$，故其法向量在 $xy$ 平面上两个分量均非零，必须通过与 $\overrightarrow{AB}$ 做内积等于 0 求出。
   • 计算终值时，若不属于特殊三角函数角，务必写成标准反余弦函数 $\arccos$ 形式，无需强行猜测角度值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面垂直的判定与二面角，出自直三棱柱背景下的立体几何证明与计算题。
2. 结论推广: 直棱柱中侧棱垂直于底面，是证线面垂直、求线面角与二面角的重要条件；找二面角的平面角时，常借助底面上的垂直关系与侧棱的垂直性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2006-山东文-20 解-四棱锥空间向量
• 2007-陕西文-19 解-线面垂直二面角
• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角