2003-全国卷理-16 填-空间线面垂直的判定与性质

本题导读

本题考查正方体中线面垂直的判定。关键是建立空间直角坐标系，把体对角线 $l$ 和由棱中点构成的平面 $MNP$ 的两条不共线向量用坐标表示，再用数量积是否为 0 判定垂直。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 下列 5 个正方体图形中， $l$ 是正方体的一条对角线，点 $M、N、P$ 分别为其所在棱的中点，能得出 $l\perp \text{面 }MNP$ 的图形的序号是________.（写出所有符合要求的图形序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为 2。以某一顶点为原点，以该顶点出发的三条棱分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，确定各顶点以及体对角线 $l$ 的向量表达式。

2. 写出各点坐标与向量：针对 ① 至 ⑤ 每个图形中 $M,N,P$ 的特殊位置，写出其坐标，并求出平面 $MNP$ 内的两个不共线向量 $\overrightarrow{MN}$ 与 $\overrightarrow{MP}$。

3. 数量积校验垂直：若 $l\perp \text{面 }MNP$，根据线面垂直的性质，直线 $l$ 的方向向量 $\vec{u}$ 必须同时垂直于平面内的这两条相交直线，即满足方程组： $\{\begin{array}{l}\vec{u}\cdot \overrightarrow{MN}=0\\ \vec{u}\cdot \overrightarrow{MP}=0\end{array}$

4. 筛选符合要求的序号：对 5 个图形逐一进行向量内积计算，全为 0 的即为所求。

✅【答案】

Success

$\text{(3)}$

✍【详细解析】

Abstract

为了便于定量计算，建立空间直角坐标系。设正方体为 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，棱长为 2。 设 $D$ 为坐标原点 $O(0,0,0)$， $DA$ 轴为 $x$ 轴， $DC$ 轴为 $y$ 轴， $D{D}_1$ 轴为 $z$ 轴。 各顶点坐标分别为： $D(0,0,0)$， $A(2,0,0)$， $B(2,2,0)$， $C(0,2,0)$ $D_1(0,0,2)$， $A_1(2,0,2)$， $B_1(2,2,2)$， $C_1(0,2,2)$

从图中各图形的虚线形态可以判定，五个图形中的体对角线 $l$ 均为 $D_1$ 到 $B$ 的连线，即 $l$ 的方向向量为： $\vec{u}=\overrightarrow{D_{1}B}=(2-0,2-0,0-2)=(2,2,-2)$ 为简化计算，方向向量可化简为 $\vec{u}=(1,1,-1)$。

下面对 5 个图形分别写出 $M,N,P$ 的坐标并进行向量内积校验：

• 图形 ① 校验：

  • $M$ 是 $A_1{D}_1$ 的中点 $⟹M(1,0,2)$
  • $N$ 是 $A_{1}A$ 的中点 $⟹N(2,0,1)$
  • $P$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点 $⟹P(2,1,2)$

  求平面内的向量： $\overrightarrow{MN}=(2-1,0-0,1-2)=(1,0,-1)$ $\overrightarrow{MP}=(2-1,1-0,2-2)=(1,1,0)$

  计算数量积： $\vec{u}\cdot \overrightarrow{MN}=1\times 1+1\times 0+(-1)\times (-1)=1+0+1=2\ne 0$ 因为不为 0，所以 $l$ 与 $MN$ 不垂直，图形 ① 不符合要求。

• 图形 ② 校验：

  • $M$ 是 $AD$ 的中点 $⟹M(1,0,0)$
  • $P$ 是 $AB$ 的中点 $⟹P(2,1,0)$
  • $N$ 是 $BC$ 的中点 $⟹N(1,2,0)$

  显然 $M,N,P$ 均在底面 $ABCD$（即 $z=0$ 的平面）内，平面 $MNP$ 就是底面。 而体对角线 $l$ 的方向向量 $\vec{u}=(1,1,-1)$ 显然不垂直于底面（底面的法向量为 $(0,0,1)$）。 计算验证： $\overrightarrow{MN}=(0,2,0)$， $\vec{u}\cdot \overrightarrow{MN}=1\times 0+1\times 2+(-1)\times 0=2\ne 0$。 图形 ② 不符合要求。

• 图形 ③ 校验：

  • $M$ 是 $A_{1}A$ 的中点 $⟹M(2,0,1)$
  • $P$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点 $⟹P(2,1,2)$
  • $N$ 是 $C_{1}C$ 的中点 $⟹N(0,2,1)$ （注：图中 $N$ 为右后侧竖直棱 $C{C}_1$ 的中点）

  求平面内的向量： $\overrightarrow{MN}=(0-2,2-0,1-1)=(-2,2,0)$ $\overrightarrow{MP}=(2-2,1-0,2-1)=(0,1,1)$

  计算数量积： $\vec{u}\cdot \overrightarrow{MN}=1\times (-2)+1\times 2+(-1)\times 0=-2+2+0=0$ $\vec{u}\cdot \overrightarrow{MP}=1\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0+1-1=0$ 两数量积同时为 0，说明 $l\perp MN$ 且 $l\perp MP$。 由于 $MN\cap MP=M$，根据线面垂直判定定理， $l\perp \text{面 }MNP$。 图形 ③ 符合要求。

• 图形 ④ 校验：

  • $M$ 是 $A_{1}A$ 的中点 $⟹M(2,0,1)$
  • $P$ 是 $AD$ 的中点 $⟹P(1,0,0)$
  • $N$ 是 $B_{1}B$ 的中点 $⟹N(2,2,1)$ （注：图中 $N$ 为右前侧竖直棱 $B{B}_1$ 的中点）

  求平面内的向量： $\overrightarrow{MN}=(2-2,2-0,1-1)=(0,2,0)$ $\overrightarrow{MP}=(1-2,0-0,0-1)=(-1,0,-1)$

  计算数量积： $\vec{u}\cdot \overrightarrow{MN}=1\times 0+1\times 2+(-1)\times 0=2\ne 0$ 因为不为 0，图形 ④ 不符合要求。

• 图形 ⑤ 校验：

  • $M$ 是 $AD$ 的中点 $⟹M(1,0,0)$
  • $P$ 是 $A_1{D}_1$ 的中点 $⟹P(1,0,2)$
  • $N$ 是 $B_{1}B$ 的中点 $⟹N(2,2,1)$

  求平面内的向量： $\overrightarrow{MP}=(1-1,0-0,2-0)=(0,0,2)$ $\overrightarrow{MN}=(2-1,2-0,1-0)=(1,2,1)$

  计算数量积： $\vec{u}\cdot \overrightarrow{MP}=1\times 0+1\times 0+(-1)\times 2=-2\ne 0$ 因为不为 0，图形 ⑤ 不符合要求。

综上所述，唯有图形 ③ 满足条件。

最终答案：③

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的向量数量积充要条件 $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$，正方体内各中点坐标的表示。
2. 核心方法：空间直角坐标系建系向量法。本题图形多、位置相似，直观空间想象容易出错，用坐标法定量计算更稳妥。
3. 避坑指南：

   • 必须准确判断体对角线 $l$ 是哪两条相对顶点的连线。由图中后方左下顶点的虚线透视可知，其均对应从左上后顶点 $D_1$ 连向右下前顶点 $B$ 的体对角线。如果方向向量弄反或选错，会导致所有点积计算结果出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何中经典的“多图形组合辨析”填空题，主要考查正方体的对称性以及体对角线与平面的垂直关系。
2. 结论推广: 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，体对角线 $D_{1}B$ 垂直于平面 $A_1{C}_{1}D$（由相邻三个面的顶点构成的正三角形）。本题图形 ③ 中的平面 $MNP$ 与该平面平行，因此 $D_{1}B\perp$ 面 $MNP$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积
• 2004-全国卷I理-20 解-空间线面垂直
• 2004-全国卷II理-20 解-线面垂直