2003-天津文-16 填-试验田种植计数

本题导读

本题考查相邻试验田异色的种植计数问题，重点在于用排除法求用满三种作物的情况。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 将 $3$ 种作物种植在如图 $5$ 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有 $\underline{}$种.（以数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 5 块试验田一字排开，相邻两块不能同色。
2. 总方案（允许只用 $2$ 种色）：第 $1$ 块 $3$ 选，其余每块与左邻异色各 $2$ 选，共 $3\times 2^4=48$。
3. 只用 $2$ 种色的方案：${\mathrm{C}}_3^2\times 2=6$ 种（选 $2$ 色后交替排列）；故用满 $3$ 种色有 $48-6=42$ 种。

✅【答案】

Success

$42$

✍【详细解析】

Abstract

5 块试验田一字排开，相邻两块不能种植同一种作物。先不计作物种类个数限制，第 $1$ 块有 $3$ 种选法，其后每块只需与左邻不同、各有 $2$ 种选法，共 $3\times 2\times 2\times 2\times 2=48$ 种。这 $48$ 种中包含了仅使用 $2$ 种作物的情形：从 $3$ 种作物中选 $2$ 种有 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种选法，选定后 $2$ 种作物在相邻相异的约束下只能交替排列、有 $2$ 种排法，共 $3\times 2=6$ 种。故真正用满 $3$ 种作物的种植方法数为 $48-6=42$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：试验田种植计数
2. 核心方法：5 块试验田一字排开，相邻相异：总 $3\times 2^4=48$，只用 2 种色 ${\mathrm{C}}_3^2\times 2=6$，故用满 3 种色 $48-6=42$
3. 避坑指南：相邻不同种植；用分步计数（$3\times 2^4$）再排除只用 2 种色的 $6$ 种

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于计数原理，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：相邻区域异色用分步乘法计数，再用排除法去掉只用少种类的情形；先分步计数（$3\times 2^{n-1}$），再排除只用 $k$ 种色的情形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

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• 2008-大纲Ⅰ文-12 单-方格计数
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