2003-北京文-03 单-充要条件判断

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及二倍角公式的求解。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） "$\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$"是”$\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12}$（$k\in \mathbf{Z}$）“的()

A. 必要非充分条件　　　　　　　　　　B. 充分非必要条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解 $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $\alpha =k\pi \pm \frac{5\pi }{12}$。
2. "$\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12}$"只是解集的一支，比较两解集的包含关系。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $2\alpha =2k\pi \pm \frac{5\pi }{6}$，即 $\alpha =k\pi \pm \frac{5\pi }{12}$（$k\in \mathbf{Z}$）．当 $\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12}$ 时必有 $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$；反之，由 $\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 还可能有 $\alpha =k\pi -\frac{5\pi }{12}$.故前者是后者的必要非充分条件，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件判断
2. 核心方法：$\cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2\alpha =2k\pi \pm \frac{5\pi }{6}\Rightarrow \alpha =k\pi \pm \frac{5\pi }{12}$，而 $\alpha =k\pi +\frac{5\pi }{12}$ 仅为其一支，故前者是后者的必要非充分条件
3. 避坑指南：三角等式解系含 $\pm$ 两支，单支条件只能是必要条件

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材常用逻辑用语
2. 结论推广: 一般地，若条件 $p$ 对应的解集是结论 $q$ 解集的真子集，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；将命题条件与结论化为解集，用包含关系判断充分必要性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2004-天津文-03 单-充分必要条件的判断
• 2006-浙江文-07 单-充分必要条件判定
• 2007-福建文-04 单-充分必要条件