2002-新课标理-03 单-空间点、线、面的位置关系

本题导读

本题主要考查空间中异面直线的定义以及线面位置关系的判定。要求考生具备较强的空间想象能力和严密的逻辑推理能力，能够准确运用反证法或构造特例来确定交线与已知异面直线的关系。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(理)） 已知 $m,n$ 为异面直线，$m\subset$ 平面 $\alpha$，$n\subset$ 平面 $\beta$，$\alpha \cap \beta =l$，则 $l$()

A. 与 $m,n$ 都相交　　　　　　　　B. 与 $m,n$ 中至少一条相交

C. 与 $m,n$ 都不相交　　　　　　　D. 至多与 $m,n$ 中的一条相交

🔍【思路分析】

破题导航

1. 审清题意：已知 $m$ 和 $n$ 是异面直线，分别在两个相交平面内，需判断两平面交线 $l$ 与 $m,n$ 的相交情况。
2. 反证逻辑分析：考虑结论的否定形式，若 $l$ 与 $m,n$ 都不相交，结合它们在同一平面内的条件，推导是否会与“$m,n$ 为异面直线”这一已知条件相矛盾。
3. 特例辅助验证：通过在正方体等经典空间几何模型中构造符合题意的平面和直线，直接排除不正确的选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：反证法（严谨推导）

要证明 $l$ 与 $m,n$ 中至少一条相交，我们可以假设其反面成立。 假设 $l$ 与 $m,n$ 都不相交。

1. 因为 $m\subset$ 平面 $\alpha$，$l\subset$ 平面 $\alpha$，且 $l$ 与 $m$ 不相交，所以在平面 $\alpha$ 内，必有 $m\parallel l$。
2. 同理，因为 $n\subset$ 平面 $\beta$，$l\subset$ 平面 $\beta$，且 $l$ 与 $n$ 不相交，所以在平面 $\beta$ 内，必有 $n\parallel l$。
3. 根据空间平行线的传递性，由 $m\parallel l$ 且 $n\parallel l$，可得 $m\parallel n$。

这与已知条件“$m,n$ 为异面直线”相矛盾。 因此，假设不成立，交线 $l$ 绝不可能与 $m,n$ 都不相交，即 $l$ 与 $m,n$ 中至少一条相交。

方法二：特例排除法

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中：

• 令异面直线 $m$ 为 $AB$，$n$ 为 $C{C}_1$。
• 令平面 $\alpha$ 为平面 $ABCD$（包含 $m$），平面 $\beta$ 为平面 $BC{C}_1{B}_1$（包含 $n$）。
• 此时，两个平面的交线 $l=\alpha \cap \beta =BC$。

观察交线 $l$ ($BC$) 与 $m,n$ 的位置关系：

• $BC$ 与 $m$ ($AB$) 相交于点 $B$；
• $BC$ 与 $n$ ($C{C}_1$) 相交于点 $C$。 此时 $l$ 与 $m,n$ 都相交。由此可排除 (C) 和 (D)。

再换一组特例：

• 仍令 $m$ 为 $AB$，$n$ 为 $C{C}_1$。
• 令平面 $\alpha$ 为平面 $AB{C}_1{D}_1$（包含 $m$），平面 $\beta$ 为平面 $BC{C}_1{B}_1$（包含 $n$）。
• 此时，两个平面的交线 $l=\alpha \cap \beta =B{C}_1$。

观察交线 $l$ ($B{C}_1$) 与 $m,n$ 的位置关系：

• $B{C}_1$ 与 $m$ ($AB$) 相交于点 $B$；
• $B{C}_1$ 与 $n$ ($C{C}_1$) 是共面直线且相交于点 $C_1$。 （若调整 $\alpha$ 使其平行于 $n$，则 $l$ 与 $n$ 也会出现平行的可能，从而只与 $m$ 相交）。 无论何种特例，均满足“至少一条相交”。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间中直线与直线的位置关系（平行、相交、异面）、两平面相交的性质。
2. 核心方法：全称命题的否定与反证法。理解“至少一个”的否定是“一个都没有”，从而利用平行公理进行转化。
3. 避坑指南：空间想象能力不足时容易凭直觉误选 (A)。需要注意到，交线 $l$ 可以平行于 $m$ 或 $n$ 中的某一条（但不能同时平行于两条），因此“都相交”过于绝对。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何大题（如线面平行、垂直的证明）中经常用到的基础逻辑组件，源于教材中对异面直线概念的辨析与空间平行线性质的考查。
2. 结论推广：若将条件改为“$m,n$ 是平行直线”，其他条件不变，则交线 $l$ 与 $m,n$ 的关系为：$l$ 与 $m,n$ 同时平行，或者 $l$ 与 $m,n$ 都相交。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2006-辽宁卷理-03 单-空间角的判定
• 1957-全国-05 解-平行平面二等分线段
• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直