2002-新课标文-20 解-独立重复概率

本题导读

本题考查独立重复试验的概率。核心在于用二项分布求”至少”型概率。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 某单位 $6$ 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是 $0.5$（相互独立）.

(1) 求至少 $3$ 人同时上网的概率；

(2) 至少几人同时上网的概率小于 $0.3$？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设同时上网人数为 $X$，$P(X=k)=\frac{C_6^k}{2^6}$。
2. (1) 用对立事件；(2) 逐项累加找临界。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{21}{32}$

(2) 至少 $5$ 人

✍【详细解析】

Abstract

设同时上网的人数为 $X$，则 $P(X=k)=\frac{C_6^k}{2^6}$． (1) $P(X\ge 3)=1-P(X<3)=1-\frac{C_6^0+C_6^1+C_6^2}{64}=1-\frac{1+6+15}{64}=\frac{21}{32}$． (2) $P(X\ge 4)=\frac{C_6^4+C_6^5+C_6^6}{64}=\frac{15+6+1}{64}=\frac{22}{64}>0.3$，而 $P(X\ge 5)=\frac{C_6^5+C_6^6}{64}=\frac{7}{64}<0.3$，故至少 $5$ 人同时上网的概率小于 $0.3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复概率

核心方法：恰 $k$ 人上网概率 $\frac{C_6^k}{2^6}$；(1) $P(X\ge 3)=1-\frac{1+6+15}{64}=\frac{21}{32}$；(2) $P(X\ge 4)=\frac{22}{64}>0.3$，$P(X\ge 5)=\frac{7}{64}<0.3$，故至少 $5$ 人

避坑指南：独立重复试验用二项分布，对立事件化简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材独立重复试验

结论推广：一般地，独立重复试验用二项分布求”至少”概率

方法推广：对立事件或逐项列举

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2004-重庆文-18 解-独立重复试验概率
• 2007-大纲Ⅰ文-18 解-独立重复试验与对立事件
• 2006-天津文-18 解-独立重复试验概率