2002-大纲文-22 解-剪拼三棱锥与三棱柱

本题导读

本题考查空间几何体的剪拼与体积比较。核心在于按面积守恒设计剪拼方法。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） (1) 给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1、图 2 中，并作简要说明；

(2) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

(3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 连中点折成三棱锥；顶点剪四边形拼底面成三棱柱。
2. 体积用底面积乘高比较。

✅【答案】

Success

(1) 剪拼见解析

(3) 剪拼见解析

(2) 正三棱锥体积小于正三棱柱体积

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设原正三角形边长为 $2$，面积为 $\sqrt{3}$．在图 1 中连接三边中点，沿三条中位线折起三个角上的小三角形，使中间小三角形作底面、三个角上的小三角形作侧面，即拼成棱长为 $1$ 的正三棱锥．在图 2 的三个顶点处各剪出一个全等四边形，余下部分折成缺一底面的正三棱柱，剪下的三个四边形拼成另一个边长为 $1$ 的正三角形底面． (2) 正三棱锥底面面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，高 $h_{锥}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$V_{锥}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}$；正三棱柱两底面共 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，三侧面总面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，高 $h_{柱}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$V_{柱}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{8}$．因 $2\sqrt{2}<3$，$V_{锥}-V_{柱}=\frac{2\sqrt{2}-3}{24}<0$，故 $V_{锥}<V_{柱}$． (3) 设 $△ABC$ 内心为 $I$，取 $AI,BI,CI$ 的中点 $U,V,W$，以 $△UVW$ 为一个底面，在三个顶点处作垂线剪出三个四边形拼成另一底面，余下部分折成直三棱柱侧面，可证其全面积与原三角形面积相等．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：剪拼三棱锥与三棱柱

核心方法：连中点折成三棱锥；顶点剪四边形拼底面成三棱柱；$V_{锥}=\frac{\sqrt{2}}{12}<V_{柱}=\frac{1}{8}$

避坑指南：剪拼按面积守恒设计，体积比较用底面积乘高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间几何体展开

结论推广：一般地，剪拼按面积守恒设计，体积比较用底面积乘高

方法推广：面积守恒设计，体积公式比较

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-21 解-正四面体二面角
• 2006-广东卷-14 填-正三棱锥球数新定义
• 2006-江苏卷-09 单-正四棱锥组合体体积