2002-上海卷文-20 解-优惠率分段函数应用

本题导读

本题考查分段函数在实际问题中的应用，核心在于按消费金额档位确定奖券，再列不等式求优惠率。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 $80\%$ 出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额的范围：$[200,400)$、$[400,500)$、$[500,700)$、$[700,900)$、$\cdots$； 获得奖券的金额：$30$、$60$、$100$、$130$、$\cdots$. 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 $400$ 元的商品，则消费金额为 $320$ 元，获得的优惠额为 $400\times 0.2+30=110$（元）.设购买商品得到的优惠率 $=\frac{\text{购买商品获得的优惠额}}{\text{商品的标价}}$，试问：

(1) 若购买一件标价为 $1000$ 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

(2) 对于标价在 $[500,800]$（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 $\frac{1}{3}$ 的优惠率？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 标价 $1000$ 打 $8$ 折消费 $800$，对应奖券 $130$。
2. 设标价 $x\in [500,800]$，消费 $0.8x\in [400,640]$，分两档列不等式。

✅【答案】

Success

(1) $33\%$

(2) 标价在 $[625,750]$ 元内

✍【详细解析】

Abstract

（1）标价 $1000$ 元，消费额 $800$ 元，对应奖券 $130$ 元，优惠额 $1000\times 0.2+130=330$ 元，优惠率 $\frac{330}{1000}=33\%$． （2）设标价为 $x$ 元，$500\le x\le 800$，消费额 $0.8x\in [400,640]$．当 $400\le 0.8x<500$（即 $500\le x<625$）时，奖券 $60$ 元，优惠率 $\frac{0.2x+60}{x}\ge \frac{1}{3}$，得 $x\ge 450$，与 $x<625$ 无解；当 $500\le 0.8x\le 640$（即 $625\le x\le 800$）时，奖券 $100$ 元，优惠率 $\frac{0.2x+100}{x}\ge \frac{1}{3}$，得 $0.2x+100\ge \frac{x}{3}$，即 $\frac{x}{15}\le 100$，$x\le 750$．故 $625\le x\le 750$，即标价在 $[625,750]$ 元内．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：优惠率分段函数应用

核心方法：(1) 标价 1000 优惠额 $200+130=330$，优惠率 $33\%$；(2) 设标价 $x\in [500,800]$，优惠额 $0.2x+\text{奖券}$，解 $\frac{0.2x+\text{奖券}}{x}\ge \frac{1}{3}$ 得 $x\in [625,750]$

避坑指南：分段函数按消费金额档位取奖券，优惠率=优惠额÷标价

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材分段函数应用题

结论推广：一般地，优惠率=优惠额÷标价，按档位取奖券

方法推广：分档求优惠额，解不等式求标价范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)