2001-上海文-21 解-函数实际应用方案比较

本题导读

本题考查函数的实际应用。核心在于建立清洗模型并比较两种方案的残留量。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 $1$ 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的 $\frac{1}{2}$，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用 $x$ 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数 $f(x)$.

(1) 试规定 $f(0)$ 的值，并解释其实际意义；

(2) 试根据假定写出函数 $f(x)$ 应该满足的条件和具有的性质；

(3) 设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，现有 $a$（$a>0$）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 $2$ 份后清洗两次.试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 规定 $f(0)=1$，说明其含义。
2. 写出 $f$ 的单调性、值域等性质。
3. 分别计算两种方案残留量并比较。

✅【答案】

Success

(1) $f(0)=1$

(2) $f$ 在 $[0,+\infty )$ 递减且 $0<f(x)\le 1$

(3) 当 $a>2\sqrt{2}$ 两次优，$a=2\sqrt{2}$ 相同，$0<a<2\sqrt{2}$ 一次优

✍【详细解析】

Abstract

(1) 规定 $f(0)=1$．这表示使用 $0$ 单位量的水时没有发生清洗，清洗后农药残留量与清洗前相同． (2) 函数的定义域为 $[0,+\infty )$，且 $f(0)=1$，$f(1)=\frac{1}{2}$．由于用水越多洗掉的农药越多，残留比例在 $[0,+\infty )$ 上单调递减；又清洗后仍有农药残留，故对任意 $x\ge 0$ 有 $f(x)>0$，因而 $0<f(x)\le 1$． (3) 设清洗前农药量为 $A>0$．一次使用全部水量时，清洗后残留量为 $Af(a)=\frac{A}{1+a^2}$．将水平均分成两份清洗两次时，每次用水 $\frac{a}{2}$，第一次清洗后残留 $Af\left(\frac{a}{2}\right)$，第二次清洗后残留 $A{\left[f\left(\frac{a}{2}\right)\right]}^2=\frac{A}{{\left(1+\frac{a^2}{4}\right)}^2}$．因为 $A>0$，两次清洗效果更好当且仅当 $\frac{1}{{\left(1+\frac{a^2}{4}\right)}^2}<\frac{1}{1+a^2}⟺{\left(1+\frac{a^2}{4}\right)}^2>1+a^2⟺\frac{a^4}{16}+\frac{a^2}{2}>a^2⟺a^2(a^2-8)>0$．结合 $a>0$，得当 $a>2\sqrt{2}$ 时两次清洗后残留较少；当 $a=2\sqrt{2}$ 时两种方案效果相同；当 $0<a<2\sqrt{2}$ 时一次清洗后残留较少．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数实际应用方案比较

核心方法：$f(0)=1$；$f$ 在 $[0,+\infty )$ 递减且 $0<f(x)\le 1$；一次洗残留 $\frac{A}{1+a^2}$，两次洗残留 $\frac{A}{(1+\frac{a^2}{4}{)}^2}$，比较得 $a>2\sqrt{2}$ 两次优、$a=2\sqrt{2}$ 相同、$0<a<2\sqrt{2}$ 一次优

避坑指南：函数建模 + 比较残留量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数模型的应用

结论推广：一般地，比较两种方案效果即比较残留量大小

方法推广：函数建模比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-20 解-优惠率分段函数应用