2001-上海文-09 填-反三角函数值域

本题导读

本题考查反三角函数，以及复合函数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 设 $x=\sin \alpha$，$\alpha \in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$，则 $\arccos x$ 的取值范围为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\alpha$ 范围确定 $x=\sin \alpha$ 的范围。
2. 用 $\arccos x$ 的单调性求值域。

✅【答案】

Success

$\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

当 $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ 时，$x=\sin \alpha$ 的取值范围为 $\left[-\frac{1}{2},1\right]$（$\sin \alpha$ 在 $\frac{\pi }{2}$ 处取到最大值 $1$，在 $-\frac{\pi }{6}$ 处取到最小值 $-\frac{1}{2}$）．函数 $\arccos x$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减，故 $\arccos 1=0\le \arccos x\le \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$，即 $\arccos x\in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数值域

核心方法：$x=\sin \alpha$，$\alpha \in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$，故 $x\in \left[-\frac{1}{2},1\right]$；$\arccos x$ 递减，$\arccos 1=0$，$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$，范围 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$

避坑指南：反余弦单调区间求值域

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反三角函数

结论推广：一般地，$\arccos x$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减

方法推广：反余弦单调区间求值域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-湖北文-16 解-三角函数值域
• 2001-新课标卷文-13 填-三角函数最值
• 2015-上海卷文-14 填-三角函数最值