2000-广东卷理-13 填-排列与组合基本原理

本题导读

本题考查排列组合中的位置限制问题。解题关键在于根据特殊元素和特殊位置的要求，利用分步乘法计数原理，分别计算主力队员与非主力队员的排列数，最后相乘求出总数。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员, 派 5 名参加比赛, 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置, 其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置, 那么不同的出场安排共有$\underline{}$种 (用数字作答).

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（主力队员排位）：将 3 名主力队员全排列在第一、三、五这 3 个位置上。
2. 第二步（非主力队员选派及排位）：从其余 7 名队员中选出 2 名，全排列在第二、四这 2 个位置上。
3. 第三步（计算总数）：利用分步乘法计数原理，将两步的排列数相乘。

✅【答案】

Success

$252$

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，出场安排分为两个独立步骤：

步骤一：安排 3 名主力队员。 3 名主力队员必须全部出场，且只能安排在第一、三、五位置（共 3 个位置）。 因此，主力队员的排位方法数为这 3 个元素的自排列： $A_3^3=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

步骤二：安排非主力队员。 其余有 7 名队员，需要从中选出 2 名安排在第二、四位置（共 2 个位置）。 这等价于从 7 个不同元素中任取 2 个元素的排列问题： $A_7^2=7\times 6=42\text{ 种}$

计算总数： 根据分步乘法计数原理，不同的出场安排总数为： $N=A_3^3\times A_7^2=6\times 42=252\text{ 种}$

答案： 252

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限制条件的排列问题；分步乘法计数原理。
2. 核心方法：位置分析与分步计数。优先满足特殊位置（一、三、五位与二、四位）的元素填充。
3. 避坑指南：

• 第二步中极易错用组合公式计算成 $C_7^2=21$。由于第二位置和第四位置是有顺序差异的，故必须使用排列公式 $A_7^2$（或先选后排 $C_7^2\times A_2^2$）。
• 审题时需明确 3 名主力队员是“全员出场”，不需要经历从 3 人中筛选的过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的元素与特定位置对应的排列组合应用题，主要考查对基本排列公式的理解。
2. 结论推广：若有 $m$ 个特殊元素需排在 $m$ 个指定位置，另有 $n$ 个元素需选出 $k$ 个排在 $k$ 个指定位置，则总排列方案数为 $A_m^m\cdot A_n^k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数
• 1985-广东理-23 单-受限排列计数