2000-广东卷理-11 单-抛物线的标准方程与焦半径

本题导读

本题考查抛物线焦点弦的几何性质。核心考查焦点弦分割出的两段焦半径倒数和与抛物线参数的关系。本题可以通过将通用直线特殊化为“垂直于对称轴的通径”来直接得出答案，也可以通过定义和焦半径公式进行严密的代数推导。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 过抛物线 $y=a{x}^2$ ($a>0$) 的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P$、$Q$ 两点，若线段 $PF$ 与 $FQ$ 的长分别是 $p$、$q$，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 等于()

A. $2a$　　　　　　B. $\frac{1}{2a}$　　　　　　C. $4a$　　　　　　D. $\frac{4}{a}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化抛物线方程：将给出的解析式 $y=a{x}^2$ 变形为开口向上的标准方程形式 $x^2=\frac{1}{a}y$，从而求出焦准距 $p_0$。
2. 特殊位置法（秒解）：由于题目中过焦点的直线是“任意”的，且选项均为定值，说明 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ 的结果与直线的倾斜程度无关。可以取最特殊的直线——平行于 $x$ 轴（垂直于对称轴）的焦点弦（即通径）。此时焦半径 $p=q=\text{半通径}$。代入计算即可。
3. 一般代数法（严密推导）：利用抛物线焦半径公式 $r=\frac{p_0}{1-\cos \theta }$，写出 $p$ 和 $q$ 的极坐标表达式，进而求倒数和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：特殊位置法 将抛物线方程 $y=a{x}^2$ 改写为标准方程形式： $x^2=\frac{1}{a}y$ 根据抛物线标准方程 $x^2=2p_{0}y$（此处用 $p_0$ 代替常用参数 $p$，避免与题干中的线段长 $p$ 混淆），可得： $2p_0=\frac{1}{a}⟹p_0=\frac{1}{2a}$

因为过焦点的直线具有任意性，我们取一条特殊直线：使其平行于 $x$ 轴（即垂直于抛物线对称轴的通径）。 此时，根据抛物线的几何性质，焦点弦 $PQ$ 为通径，焦点 $F$ 恰为 $PQ$ 的中点。 因此，两段焦半径长度相等，且都等于半通径： $p=q=p_0=\frac{1}{2a}$

将其代入所求式子中： $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\frac{1}{2a}}+\frac{1}{\frac{1}{2a}}=2a+2a=4a$

方法二：一般代数法（极坐标推导） 以焦点 $F$ 为极点，对称轴正方向（$y$ 轴正方向）为极轴建立极坐标系。 抛物线的极坐标方程为： $\rho =\frac{p_0}{1-\cos \theta }$ 设直线 $PQ$ 的倾斜角为 $\alpha$，则 $P$ 点的极角为 $\alpha$，$Q$ 点的极角为 $\alpha +\pi$。 两段焦半径的长 $p,q$ 分别为： $p=\frac{p_0}{1-\cos \alpha }$ $q=\frac{p_0}{1-\cos (\alpha +\pi )}=\frac{p_0}{1+\cos \alpha }$

求倒数和： $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1-\cos \alpha }{p_0}+\frac{1+\cos \alpha }{p_0}=\frac{2}{p_0}$ 将 $p_0=\frac{1}{2a}$ 代入上式： $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{\frac{1}{2a}}=4a$

正确选项为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线标准方程的转化；焦点弦的调和平均数性质。
2. 核心方法：

• 特殊值/特殊位置法：解析几何选择题中遇到“任意直线”维持某种数量关系不变时，通径是最常用的特殊化武器。
• 极坐标法：处理圆锥曲线焦点弦问题（尤其是涉及焦半径倒数关系时），极坐标方程 $\rho =\frac{e\cdot p_0}{1-e\cos \theta }$ 能一步实现消元。

3. 避坑指南：容易直接把 $y=a{x}^2$ 中的 $a$ 误当作标准方程 $y^2=2px$ 中的参数，一定要先化成标准形式再提炼焦准距。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆锥曲线普遍具备的焦点弦性质（调和中项律）。
2. 结论推广：对于任意有心圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线），过焦点的弦被焦点分为两部分 $p$ 和 $q$，则 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{x_0}$（其中 $x_0$ 为半通径长）。对于抛物线而言，半通径长等于焦准距 $p_0$，故倒数和为恒定值 $\frac{2}{p_0}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1983-全国文-02 单-抛物线的焦点位置
• 1986-上海文-20 单-抛物线焦点弦的射影