2000-大纲理-16 填-正方体射影

本题导读

本题考查平行投影，以及正方体的结构特征。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 如图，$E$，$F$ 分别为正方体面 $AD{D}_1{A}_1$、面 $BC{C}_1{B}_1$ 的中心，则四边形 $BF{D}_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是 $\underline{}$.（要求：把可能的图序号都填上）

🔍【思路分析】

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1. 建系后把四个顶点投影到各面，分类讨论”平行于 $AD{D}_1{A}_1$ 的面”与”其余四个面”。

✅【答案】

Success

②③

✍【详细解析】

Abstract

取正方体棱长为 $1$，设 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$D_1=(0,1,1)$，$E=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，$F=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$. 在两个与面 $AD{D}_1{A}_1$、$BC{C}_1{B}_1$ 平行的面上作射影时，$E$ 与 $F$ 的射影重合，$B$ 与 $D_1$ 的射影为该面的两个对角顶点，所以四边形的射影退化为一条对角线，对应图③. 在其余四个面上作射影时，以相应面的两条棱为坐标轴，四个顶点的坐标可写成 $(1,0)$，$\left(1,\frac{1}{2}\right)$，$(0,1)$，$\left(0,\frac{1}{2}\right)$，所得图形为图②所示的四边形. 因此可能的图序号为②、③.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行投影与空间坐标系

核心方法：建系求投影点坐标

避坑指南：射影是平行投影（正投影）；分两类面讨论：一对平行面上射影退化为对角线，其余四个面上是四边形

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：空间图形的投影问题是立体几何与解析几何的交汇题型.

2. 结论推广：求几何体在某面上的射影，建系写出各顶点投影坐标是最可靠的方法.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-16 填-正方体面的射影
• 2000-新课标卷文-16 填-正方体面的射影