2000-上海卷理-10 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的计算。解题关键在于正确计算出总的基本事件数（样本空间）和满足“颜色与号码均不相同”的事件数。利用分步计数原理，对选择颜色与号码的排列过程进行代数化推导。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 3 面, 在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、2 和 3, 现任取出 3 面, 它们的颜色与号码均不相同的概率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总基本事件数（分母 $N$）：总共有 $3\times 3=9$ 面不同的旗帜，从中任取 3 面的方法数为组合数 $C_9^3$。
2. 计算符合条件事件数（分子 $M$）：

• 目标是取出的 3 面旗帜“颜色不相同”且“号码不相同”。
• 既然颜色不同，意味着红、黄、蓝三种颜色各选 1 面。
• 既然号码不同，意味着标号 1、2、3 的旗帜各选 1 面。
• 可以分步来选：先确定红、黄、蓝三种颜色分别对应的号码。这就是把号码 1、2、3 全排列并分配给三种颜色的过程。

3. 计算概率：根据古典概型公式 $P=\frac{M}{N}$ 求解。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{14}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算从 9 面旗帜中任取 3 面的总方法数（分母） 由于红、黄、蓝三色旗帜各有 3 面（分别标号 1, 2, 3），因此共有 $3\times 3=9$ 面完全不同的旗帜。 从中任意取出 3 面，总的基本事件数 $N$ 为： $N=C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84\text{ 种}$

第二步：计算颜色与号码均不相同的取法数（分子） 由于要求取出的 3 面旗帜颜色各不相同、号码也各不相同，则必然是红、黄、蓝三色各 1 面，且 1、2、3 号各 1 面。

我们可以采用分步计数法来安排这种组合：

1. 分配号码：我们将 1、2、3 三个号码分别分配给红、黄、蓝三种颜色。

• 红色旗帜可以从 1、2、3 号中任选 1 个，有 $3$ 种选法；
• 黄色旗帜只能从剩下的 2 个号码中选 1 个，有 $2$ 种选法；
• 蓝色旗帜只能选最后剩下的 1 个号码，有 $1$ 种选法。

2. 这一步的本质是 3 个不同号码在 3 种颜色上的全排列，方法数为： $M=A_3^3=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

第三步：计算概率 根据古典概型的概率计算公式，所求概率为： $P=\frac{M}{N}=\frac{6}{84}=\frac{1}{14}$

答案： $\frac{1}{14}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的定义；限制条件下元素匹配的排列方案数。
2. 核心方法：分步全排列法。将两组不同属性（颜色、数字）的一对一完全不重复匹配，转化为其中一组属性对另一组属性的排列。
3. 避坑指南：

• 极易在计算分子时发生重复计数，例如误认为：“第一面旗随便选有 9 种，第二面旗去掉同色同号有 4 种…”。这种连乘法由于没有考虑取出的无序性，会导致计算严重偏离。
• 应当明确，由于已经强制限定了“红黄蓝各一面”及“123号各一面”，所以选定红色旗的号码（3种）后，整个组合的颜色与标号就已经被唯一绑定，后面不需再乘以 $C_3^1$ 等颜色选择项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由经典的错位排列问题与两两配对问题延伸而来的古典概率基础题，主要考查高三学生组合计数逻辑的严密性。
2. 结论推广：若有 $n$ 种颜色，每种颜色有 $n$ 个不同编号的元素。现从中任取 $n$ 个元素，要求颜色与号码均不相同，则其取出的概率通式为： $P=\frac{A_n^n}{C_{n^2}^n}=\frac{n!}{\frac{(n^2)!}{n!(n^2-n)!}}=\frac{(n!{)}^2\cdot (n^2-n)!}{(n^2)!}$ 代入 $n=3$ 即可直接验证结果为 $\frac{6}{84}=\frac{1}{14}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数
• 1985-广东理-23 单-受限排列计数