1999-上海文-11 填-掷骰子的古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及点与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 $m$、$n$ 作为点 $P$ 的坐标，则点 $P$ 落在圆 $x^2+y^2=16$ 内的概率是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总点数 $6\times 6=36$。
2. 枚举 $m^2+n^2<16$ 的整点个数。

✅【答案】

Success

$\frac{2}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

连续掷两次骰子共有 $6\times 6=36$ 个等可能结果。点 $P(m,n)$ 落在圆 $x^2+y^2=16$ 内需 $m^2+n^2<16$。逐一枚举：$m=1$ 时 $n^2<15$，$n=1,2,3$，共 $3$ 个；$m=2$ 时 $n^2<12$，$n=1,2,3$，共 $3$ 个；$m=3$ 时 $n^2<7$，$n=1,2$，共 $2$ 个；$m⩾4$ 时 $m^2⩾16$，无解。故共有 $3+3+2=8$ 个点满足条件。所求概率 $P=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：掷骰子的古典概型

核心方法：$m^2+n^2<16$：$m=1$ 有 $3$ 个、$m=2$ 有 $3$ 个、$m=3$ 有 $2$ 个，共 $8$ 个，$P=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

避坑指南：枚举圆内整点数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材古典概型

结论推广：一般地，$P=\frac{满足条件的整点数}{总点数}$

方法推广：枚举计数求概率

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-10 填-古典概型
• 2001-上海文-20 解-复数集合与概率
• 2002-上海卷文-07 填-组合概率无受贿裁判