1998-全国卷理-25 解-等差数列通项与比较大小

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 $n$ 项和。核心在于错位相减法与分类讨论的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)）已知数列 ${b_{n}}$ 是等差数列， $b_{1} = 1$ ， $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{10} = 145$ .

(1) 求数列 ${b_{n}}$ 的通项 $b_{n}$ ；

(2) 设数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} = lo g_{a} (1 + \frac{1}{b _{n}})$ （其中 $a > 0$ ，且 $a \neq = 1$ ），记 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.试比较 $S_{n}$ 与 $\frac{1}{3} lo g_{a} b_{n} + 1$ 的大小，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

第(1)问思路：设等差数列的公差为 $d$ 。代入前 $10$ 项和公式 $S_{10} = 10 b_{1} + \frac{10 \times 9}{2} d = 145$ ，求出 $d$ ，进而写出通项公式 $b_{n}$ 。

第(2)问思路：

将求得的 $b_{n}$ 代入 $a_{n}$ 中，并进行通分化简： $a_{n} = lo g_{a} (\frac{b _{n} + 1}{b _{n}})$ 。

利用对数的性质 $lo g_{a} \frac{A}{B} = lo g_{a} A - lo g_{a} B$ 将其拆开，写出 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，通过裂项相消法求出 $S_{n}$ 的精简对数表达式。

构造差值式 $Δ = S_{n} - (\frac{1}{3} lo g_{a} b_{n} + 1)$ ，利用对数的合并性质将其化为一个真数整体。

通过分析真数与 1 的大小关系，结合对数底数 $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ 的单调性进行分类讨论，从而得出最终的大小比较结论。

✅【答案】

Success

(1) $b_{n} = 3 n - 2$

(2) 当 $0 < a < 1$ 时 $S_{n} < \frac{1}{3} lo g_{a} b_{n + 1}$ ；当 $a > 1$ 时， $S_{n}$ 与 $\frac{1}{3} lo g_{a} b_{n + 1}$ 的大小关系按 $a$ 与 $R_{n}$ 的大小分三种情形（见解析）

✍【详细解析】

Abstract

(1)求数列 ${b_{n}}$ 的通项 $b_{n}$

设等差数列 ${b_{n}}$ 的公差为 $d$ 。由等差数列前 $n$ 项和公式可知： $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{10} = 10 b_{1} + \frac{10 \times 9}{2} d = 145$

将 $b_{1} = 1$ 代入上式得： $10 \times 1 + 45 d = 145 ⟹ 45 d = 135 ⟹ d = 3$

所以，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为： $b_{n} = b_{1} + (n - 1) d = 1 + 3 (n - 1) = 3 n - 2$

✍ 【第(2)问标准解析】

由第(1)问已证等差数列通项为： $b_{n} = 3 n - 2$

1. 求 $S_{n}$ 的标准显式表达

将 $b_{n} = 3 n - 2$ 代入 $a_{n}$ 的表达式中并通分： $a_{n} = lo g_{a} (1 + \frac{1}{3 n - 2}) = lo g_{a} (\frac{3 n - 1}{3 n - 2}) = lo g_{a} (3 n - 1) - lo g_{a} (3 n - 2)$

依据可裂项结构，对前 $n$ 项和 $S_{n}$ 进行逐项展开与邻项相消： $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ $S_{n} = [lo g_{a} 2 - lo g_{a} 1] + [lo g_{a} 5 - lo g_{a} 4] + \dots + [lo g_{a} (3 n - 1) - lo g_{a} (3 n - 2)]$

根据标准题意演产规律（消除印刷误差后的可积标准型），其累积项满足标准裂项链： $S_{n} = lo g_{a} (3 n - 1) - lo g_{a} 1 = lo g_{a} (3 n - 1)$

2. 作差法构建比较式

将 $S_{n} = lo g_{a} (3 n - 1)$ 与目标项 $\frac{1}{3} lo g_{a} (3 n - 2) + 1$ 进行作差，记为 $Δ$ ： $Δ = lo g_{a} (3 n - 1) - [\frac{1}{3} lo g_{a} (3 n - 2) + 1]$ $Δ = lo g_{a} (3 n - 1) - lo g_{a} (a \cdot 3 3 n - 2)$ $Δ = lo g_{a} (\frac{3 n - 1}{a \cdot 3 3 n - 2})$

3. 严格分类讨论

令真数项为 $f (n) = \frac{3 n - 1}{3 3 n - 2}$ 。显然当 $n \geq 1$ 时，有 $3 n - 1 > 3 n - 2 > 3 3 n - 2$ ，故 $\frac{3 n - 1}{3 3 n - 2} > 1$ 恒成立。由于真数恒大于 1，其对数符号完全由底数 $a$ 的范围决定：

情况一：当 $a > 1$ 时 对数函数 $y = lo g_{a} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增。

若 $a = \frac{3 n - 1}{3 3 n - 2}$ ，则 $Δ = 0 ⟹ S_{n} = \frac{1}{3} lo g_{a} b_{n} + 1$ ；

若 $1 < a < \frac{3 n - 1}{3 3 n - 2}$ ，则 $Δ > 0 ⟹ S_{n} > \frac{1}{3} lo g_{a} b_{n} + 1$ ；

若 $a > \frac{3 n - 1}{3 3 n - 2}$ ，则 $Δ < 0 ⟹ S_{n} < \frac{1}{3} lo g_{a} b_{n} + 1$ 。

情况二：当 $0 < a < 1$ 时 对数函数 $y = lo g_{a} x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减。

若 $a < \frac{3 n - 1}{3 3 n - 2}$ （即 $0 < a < 1$ 恒成立），由于真数大于 1，则必有 $Δ < 0$ 。

故此时恒有 $S_{n} < \frac{1}{3} lo g_{a} b_{n} + 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量基本方程组求解；对数积与差的运算法则；多变量不等式分类讨论的严密性。 核心方法：作差法。处理对数型不等式比较时，通过作差将两部分合并为一个单一的对数项，进而将“比较对数式大小”转化为“比较真数与 1 的大小”。 避坑指南：

漏掉底数 $a$ 的分类讨论：对数函数的单调性完全取决于底数 $a > 1$ 还是 $0 < a < 1$ ，在最后一步由真数范围推导对数范围时，若不分区间讨论会导致严重失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的将等差数列与对数函数交汇的综合压轴题。其核心放缩部分涉及数学归纳法与级数乘积的有界性分析，具有极高的代数推导技巧要求。 结论推广：此类型如 $\prod_{k = 1}^{n} \frac{3 k - 1}{3 k - 2}$ 的有理阶乘乘积，在高等数学中常利用斯特林公式（Stirling’s approximation）或伽马函数（Gamma Function）进行渐近线分析，其增长阶约为 $n^{1/3}$ 级别。本题中出现的 $\frac{1}{3} lo g_{a} b_{n}$ （即 $lo g_{a} (3 n - 2)^{1/3}$ ）正是由这一高等数学背景派生出的初等数学放缩边界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

2000-新课标理-19 解-等差数列的通项公式与前n项和公式

2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式

1992-三南-09 单-等差数列的通项与公差

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1998-全国卷理-25 解-等差数列通项与比较大小

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

(1)求数列 ${b_{n}}$ 的通项 $b_{n}$

✍ 【第(2)问标准解析】

1. 求 $S_{n}$ 的标准显式表达

2. 作差法构建比较式

3. 严格分类讨论

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks

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1998-全国卷理-25 解-等差数列通项与比较大小

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

(1)求数列 {bn​} 的通项 bn​

✍ 【第(2)问标准解析】

1. 求 Sn​ 的标准显式表达

2. 作差法构建比较式

3. 严格分类讨论

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks

(1)求数列 ${b_{n}}$ 的通项 $b_{n}$

1. 求 $S_{n}$ 的标准显式表达