1998-全国卷理-11 单-排列组合计数

本题导读

本题考查排列组合，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有()

A. 90 种　　　　B. 180 种　　　　C. 270 种　　　　D. 540 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分步处理核心人群：本题涉及两类不同性质的元素（医生与护士）向三个不同的地点（3 所学校）进行定向定量分配，应采用分步计数原理。
2. 第一步：分配医生：将 3 名不同医生完全分到 3 所不同的学校，每校 1 人。此过程相当于 3 个元素的全排列。
3. 第二步：分配护士：从 6 名护士中为第一所学校选 2 人，再从剩下的 4 名护士中为第二所学校选 2 人，最后剩下的 2 名护士自动去第三所学校。由于学校是不同的，每一步选择都直接带有定向性质。
4. 乘法原理合成：将两步的方法数相乘，即得总的分配方法数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据分步乘法计数原理，将整个分配过程分为两个独立步骤：

• 第一步：分配 3 名医生到 3 所不同的学校 每所学校有且仅有 1 名医生，这相当于将 3 名医生在 3 所学校进行全排列，方法数为： $A_3^3=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

• 第二步：分配 6 名护士到 3 所不同的学校（每校 2 人）

• 首先，为第一所学校从 6 名护士中任意选出 2 人，方法数为 $C_6^2$ 种；
• 其次，为第二所学校从剩下的 4 名护士中任意选出 2 人，方法数为 $C_4^2$ 种；
• 最后，剩下的 2 名护士直接分配到第三所学校，方法数为 $C_2^2$ 种。

因此，分配护士的方法数为： $C_6^2\cdot C_4^2\cdot C_2^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}\times \frac{4\times 3}{2\times 1}\times 1=15\times 6\times 1=90\text{ 种}$

• 计算总方法数 结合以上两步，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法共有： $N=A_3^3\times \left(C_6^2\cdot C_4^2\cdot C_2^2\right)=6\times 90=540\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步乘法计数原理、有编号的完全定向平均分组分配模型。 核心方法：元素定点分配法。当分组后要投入到明确有区别的容器（如本题中的 3 所不同的学校）时，在选取的每一步就直接赋予了容器属性，可以避免“先分组再排列”中因平均分组产生的混淆。 避坑指南：

• 混淆平均分组导致漏算或重复：若采用“先将 6 名护士平均分成三组，再分配到三所学校”的思路，护士平均分成三组的方法数应当是 $\frac{C_6^2{C}_4^2{C}_2^2}{A_3^3}=\frac{90}{6}=15$ 种。分好组后，再将医生（$A_3^3=6$ 种）与护士组（$A_3^3=6$ 种）分别投入 3 所学校，总数仍为 $15\times 6\times 6=540$。容易在护士分组时忘记除以 $A_3^3$，或在定向时少乘一个排列，导致错选。
• 直接按部就班分步定向选取（本解法中不除以 $A_3^3$ 也不再对护士二次排列）是避免此类陷阱最严密和高效的策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自人教版教材中“排列、组合的应用”这一节的经典经典派生题。通过对两类人同时进行位置限制分配，考查对计数原理中“分步”与“分类”本质区别的精准应用。 结论推广：若将 $m$ 类不同性质的元素（每类有 $k\cdot n$ 个，其中第 $i$ 类分到每个地点的数量为 $k_i$），定向分配给 $n$ 个不同的地点，其总的方法数恒满足： ${\prod }_{i=1}^m\left(C_{kn}^k\cdot C_{(n-1)k}^k\cdots C_k^k\right)\cdot (A_n^n{)}^{\lambda }$ 对于本题这类完全匹配且定向的情况，直接利用分步乘法写出多项组合数积即可完成秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.04 分配问题

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2005-浙江卷文-14 填-排列组合至多至少计数
• 2004-辽宁卷-12 单-排列组合与计数原理