1997-全国卷理-03 单-正切函数的图象

本题导读

本题考查正切函数的图象与性质，以及正切函数的周期与渐近线。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 函数 $y=\tan \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在一个周期内的图象是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

计算函数的零点（与 $x$ 轴的交点）：令 $y=0$，求出此时的 $x$ 值，通过对比各选项图象与 $x$ 轴的交点坐标直接进行初步筛选。 确定渐近线方程：利用正切函数主渐近线公式 $\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，计算出相邻的两条虚线渐近线位置。 验证周期：由 $T=\frac{\pi }{\omega }$ 计算出周期，结合前两步锁定唯一正确答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

求解函数的零点 令 $y=0$，即 $\tan \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{3}\right)=0$。 根据正切函数的性质，主零点满足： $\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{3}=0⟹\frac{1}{2}x=\frac{\pi }{3}⟹x=\frac{2\pi }{3}$ 观察四个选项的图象与 $x$ 轴交点（即零点）：

• A 选项的交点为 $\frac{2\pi }{3}$，符合；
• B 选项的交点为 $\frac{2\pi }{3}$，符合；
• C 选项的交点为 $\frac{\pi }{3}$，不符；
• D 选项的交点为 $\frac{\pi }{3}$，不符。

由此直接排除 C 和 D。

求解一个周期内的渐近线 正切函数 $y=\tan \theta$ 的非定义点（渐近线）满足 $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。 代入本题的复合角： $\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 解关于 $x$ 的方程： $\frac{1}{2}x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+k\pi ⟹\frac{1}{2}x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$ 方程两边同时乘以 2 得： $x=\frac{5\pi }{3}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

• 当 $k=0$ 时，一条渐近线为 $x=\frac{5\pi }{3}$；
• 当 $k=-1$ 时，相邻的另一条渐近线为 $x=\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}$。

所以，包含零点 $x=\frac{2\pi }{3}$ 的这一个周期内的两条渐近线分别为 $x=-\frac{\pi }{3}$ 和 $x=\frac{5\pi }{3}$。

比对选项

• A 选项的左、右渐近线分别为 $-\frac{\pi }{3}$ 和 $\frac{5\pi }{3}$，完全符合；
• B 选项的左、右渐近线分别为 $\frac{\pi }{6}$ 和 $\frac{7\pi }{6}$，不符。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切函数图象的平移变换；零点值 $x=-\frac{\phi }{\omega }$ 与渐近线代数式的推导。 核心方法：“特征值排除法”。在解决三角函数图象选择题时，最快的方法是优先计算“零点”或者“最大/最小值点”，通过代入验证可大幅提高解题速度。 避坑指南：计算渐近线或周期时，容易将正切函数的周期公式 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ 错套用为正弦函数的 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。本题中 $\omega =\frac{1}{2}$，故标准周期 $T=\frac{\pi }{1/2}=2\pi$，两条渐近线的间距应为 $2\pi$（$\frac{5\pi }{3}-(-\frac{\pi }{3})=2\pi$），以此亦可快速排除 B（B 的间距为 $\pi$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于三角函数图象性质的经典考题，直接取材于高中数学教材中“正切函数的图象与性质”章节中的标准图象辨析例题。 结论推广：对于广义正切曲线 $y=\tan (\omega x+\phi )$（$\omega >0$），其相邻两条渐近线围成的单个完整周期图象，其中心零点坐标恒为 $x_0=-\frac{\phi }{\omega }$，左右两侧的垂直渐近线边界恒为 $x=x_0\pm \frac{\pi }{2\omega }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-13 单-对数函数图象的象限
• 2002-上海卷文-15 单-分段奇偶函数图象
• 1998-全国卷文-02 单-指数函数与绝对值函数的图象