1993-新高考理-21 填-反函数值的求法

本题导读

本题考查反函数的定义与性质，以及指数方程的求解。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(理)） 设 $f(x)=4^x-2^{x+1}$，则 $f^{-1}(0)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

利用反函数性质转化：根据反函数的定义，若 $f^{-1}(0)=x_0$，则有 $f(x_0)=0$。由此可将问题转化为求方程 $f(x)=0$ 的根。 列出指数方程：令 $4^x-2^{x+1}=0$，并利用指数幂的运算性质将其变形。 换元或化同底：将方程化为以 2 为底的形式，提取公因式或直接求解。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $f^{-1}(0)=x$，根据反函数的定义可知： $f(x)=0$

代入原函数解析式得： $4^x-2^{x+1}=0$

利用指数的运算性质 $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}$，且 $2^{x+1}=2\cdot 2^x$，将方程变形为： $(2^x{)}^2-2\cdot 2^x=0$

因式分解得： $2^x(2^x-2)=0$

因为对任意实数 $x$，恒有 $2^x>0$，所以 $2^x\ne 0$。 从而只能是： $2^x-2=0$ $2^x=2$

解得： $x=1$

答案： 1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的对应关系 $y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$，指数方程的解法。 核心方法：求反函数值 $f^{-1}(a)$ 时，一般不需要求出反函数的解析式 $f^{-1}(x)$，而是直接利用关系式 $f(x)=a$ 建立方程求解，这种“逆向转化”是处理反函数问题的常规高效方法。 避坑指南：部分学生可能会盲目尝试先求出 $f^{-1}(x)$ 的完整表达式，这会导致运算量剧增并涉及复杂的对数符号讨论，容易在变形中出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查基本的函数与方程思想，属于高中数学函数章节点对点对应的经典教材变形题。 结论推广：对于任意可逆函数 $f(x)=a^{2x}-c\cdot a^x$（其中 $a>0,a\ne 1,c>0$），求 $f^{-1}(0)$，皆可令 $f(x)=0\Rightarrow a^x(a^x-c)=0$，由 $a^x>0$ 快速得出 $a^x=c$，从而 $f^{-1}(0)={\log }_{a}c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1988-上海-01 填-指数方程
• 1988-上海-02 填-反函数
• 1988-全国文-17 填-指数方程