1992-全国卷理-06 单-幂函数的图象

本题导读

本题考查幂函数的图象与性质，以及幂函数单调性与指数的关系。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 如图，图中曲线是幂函数 $y=x^n$ 在第一象限的图象.已知 $n$ 取 $\pm 2$, $\pm \frac{1}{2}$ 四个值，则相应于曲线 $C_1$、$C_2$、$C_3$、$C_4$ 的 $n$ 依次为 ()

A. $-2$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $2$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $2$, $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$, $-2$ C. $-\frac{1}{2}$, $-2$, $2$, $\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $2$, $\frac{1}{2}$, $-2$, $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 按单调性（正负号）大分类：
   • 曲线 $C_1,C_2$ 随 $x$ 增大而上升，在第一象限单调递增，说明它们的指数 $n>0$，即属于 $\{2,\frac{1}{2}\}$；
   • 曲线 $C_3,C_4$ 随 $x$ 增大而下降，且以两坐标轴为渐近线，说明它们的指数 $n<0$，即属于 $\{-2,-\frac{1}{2}\}$。
2. 在正数或负数中细分（特殊值法）：
   • 对于 $C_1,C_2$，取 $x=2$：由于 $2^2=4>2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，说明当 $x>1$ 时，指数越大的函数图象越高，故 $C_1$ 对应 2， $C_2$ 对应 $\frac{1}{2}$。
   • 对于 $C_3,C_4$，取 $x=2$：由于 $2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707>2^{-2}=\frac{1}{4}=0.25$，说明当 $x>1$ 时，图象较高的曲线对应的指数也较大（即较为接近0），故 $C_3$ 对应 $-\frac{1}{2}$， $C_4$ 对应 $-2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先，根据幂函数 $y=x^n$ 在第一象限的性质进行宏观单调性分类：

1. 曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，因此其指数必大于 0。由已知数值可选的正数有 $2$ 和 $\frac{1}{2}$。
2. 曲线 $C_3$ 和 $C_4$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，因此其指数必小于 0。由已知数值可选的负数有 $-2$ 和 $-\frac{1}{2}$。

其次，通过取特殊值 $x=2$（即在直线 $x=1$ 右侧观察各曲线的纵坐标高度）进行具体对应：

• 观察递增曲线 $C_1$ 和 $C_2$，当 $x=2$ 时，曲线 $C_1$ 明显高于 $C_2$（即 $y_{C_1}>y_{C_2}$）。 因为 $2^2=4>2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，所以 $C_1$ 对应的 $n=2$， $C_2$ 对应的 $n=\frac{1}{2}$。
• 观察递减曲线 $C_3$ 和 $C_4$，当 $x=2$ 时，曲线 $C_3$ 高于 $C_4$（即 $y_{C_3}>y_{C_4}$）。 因为 $2^{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$， $2^{-2}=\frac{1}{4}=0.25$，$\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{1}{4}$， 所以 $C_3$ 对应的 $n=-\frac{1}{2}$， $C_4$ 对应的 $n=-2$。

综上所述，相应于曲线 $C_1,C_2,C_3,C_4$ 的 $n$ 依次为 $2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：幂函数 $y=x^n$ 的图象在第一象限的分布规律。
2. 核心方法：特殊直线测试法。在第一象限中，通常作辅助直线 $x=1$。
   • 在 $x>1$ 的区域，各幂函数图象从上到下的顺序，恰好对应指数 $n$ 从大到小的顺序。
   • 本题在 $x>1$ 时，四条曲线从上到下的空间层级顺序依次是 $C_1>C_2>C_3>C_4$。因此它们对应的指数 $n$ 必须严格按照从大到小的顺序排列。由于已知四个数的大小排序为 $2>\frac{1}{2}>-\frac{1}{2}>-2$，直接对应即可。
3. 避坑指南：容易把 $x>1$ 和 $0<x<1$ 两个区间的函数值大小关系记反。在 $0<x<1$ 的区间内，指数越大的图象反而越靠下。为了彻底避免混淆，强烈建议在考场上直接使用取具体数值（如 $x=2$）代入的方法进行验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于幂函数核心性质的经典图象辨析题。直接取材于高一数学必修教材中“幂函数”一节的课后探究习题，主要训练学生数形结合的直观想象能力。
2. 结论推广：在第一象限内，所有幂函数的图象都必然经过定点 $(1,1)$。过点 $(1,1)$ 之后（即当 $x>1$ 时），**“指数大者在上，指数小者在下”**是一个恒成立的普遍几何规律，该结论可推广用于任何多项幂函数图象的定性排查。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-05 单-幂函数的单调性与奇偶性

• 1996-上海文-08 单-二次函数与指数函数的图象

• 1998-全国卷文-02 单-指数函数与绝对值函数的图象