1989-广东理-15 单-两直线所成的角

本题导读

本题考查两直线所成的角，利用斜率之积与和的关系。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 如果直线 $l_1,l_2$ 的斜率分别是二次方程 $x^2-4x+1=0$ 的两根，那么 $l_1,l_2$ 所成的角是()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　　　D. $\frac{\pi }{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

由韦达定理得 $k_1{k}_2=1$，$k_1+k_2=4$，用夹角正切公式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设两斜率为 $k_1,k_2$，则 $k_1{k}_2=1$，$k_1+k_2=4$。$\tan \theta =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|=\frac{\sqrt{(k_1+k_2{)}^2-4k_1{k}_2}}{1+k_1{k}_2}=\frac{\sqrt{16-4}}{2}=\sqrt{3}$。故 $\theta =\frac{\pi }{3}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两直线所成的角

核心方法：$\tan \theta =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$。

避坑指南：$k_1{k}_2=1$，$k_1+k_2=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两直线夹角。

结论推广：$\tan \theta =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$。

方法推广：斜率与夹角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-07 单-两条直线垂直的斜率关系
• 1990-广东理-01 单-两条直线垂直的斜率关系
• 1990-全国文-09 单-直线关于直线的对称