1989-全国卷理-01 单-补集与交集

本题导读

本题考查集合的补集运算，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 如果 $I=\{a,b,c,d,e\}$，$M=\{a,c,d\}$，$N=\{b,d,e\}$，其中 $I$ 是全集，那么 $\overline{M}\cap \overline{N}$ 等于 ()

A. $\varnothing$　　　　　　　　B. $\{d\}$　　　　　　　　C. $\{a,c\}$　　　　　　　　D. $\{b,e\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（定义法）： 先根据全集 $I$ 分别求出集合 $M$ 和 $N$ 的补集 $\overline{M}$ 与 $\overline{N}$，再找出两补集的公共元素即为交集。
2. 方法二（性质法）： 利用德·摩根定律，将 $\overline{M}\cap \overline{N}$ 转化为 $\overline{M\cup N}$。先求出 $M\cup N$，再求其在全集 $I$ 中的补集。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：定义分步运算法 因为全集 $I=\{a,b,c,d,e\}$，$M=\{a,c,d\}$， 所以 $M$ 的补集为： $\overline{M}=\{b,e\}$

因为 $N=\{b,d,e\}$， 所以 $N$ 的补集为： $\overline{N}=\{a,c\}$

根据交集的定义，求 $\overline{M}$ 与 $\overline{N}$ 的公共元素： $\overline{M}\cap \overline{N}=\{b,e\}\cap \{a,c\}=\varnothing$

方法二：德·摩根定律法 根据集合的德·摩根定律可知： $\overline{M}\cap \overline{N}=\overline{M\cup N}$

先求集合 $M$ 与 $N$ 的并集： $M\cup N=\{a,c,d\}\cup \{b,d,e\}=\{a,b,c,d,e\}=I$

再求并集的补集： $\overline{M\cup N}=\overline{I}=\varnothing$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 补集与交集的定义及运算性质。
2. 核心方法： * 分步运算法： 严格按照“先括号内/先单式，再整体”的逻辑逐步进行集合的元素筛选。
   • 公式简化法： 利用 $\overline{M}\cap \overline{N}=\overline{M\cup N}$ 降低运算步骤。
3. 避坑指南： * 求补集时注意不要漏掉或多加全集 $I$ 中的元素。
   • 注意空集 $\varnothing$ 的符号表达，不要错选为包含空集的集合形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于集合运算的入门级基础题，源于教材中对集合基本概念与德·摩根定律（容斥原理背景）的直接考查。
2. 结论推广： 在经典集合论中，对于全集 $U$ 下的任意子集 $A$ 和 $B$，恒有德·摩根定律（对偶律）： ${\complement }_U(A\cap B)=({\complement }_{U}A)\cup ({\complement }_{U}B)$ ${\complement }_U(A\cup B)=({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)$ 本题即为第二条性质在有限集上的直接体现。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-01 单-集合的补集与交集运算
• 1994-全国卷文-01 单-集合的补集与并集
• 1991-上海-11 单-集合的交集运算