1988-广东文-23 单-直线与半圆的位置关系

本题导读

本题考查直线与半圆有两个交点时斜率的取值范围。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(文)） 曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 与直线 $y=k(x-2)+2$ 有两个交点时，实数 $k$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{3}{4},1\right]$　　　　　　B. $\left(\frac{3}{4},+\infty \right)$　　　　　　C. $(1,+\infty )$　　　　　　D. $\left[1,\frac{5}{4}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

曲线是圆心 $(1,0)$ 半径 $1$ 的上半圆，直线过 $(2,2)$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sqrt{2x-x^2}$ 即 $(x-1{)}^2+y^2=1$（$y\ge 0$），上半圆。直线恒过 $(2,2)$。过左端点 $(0,0)$：$k=\frac{2-0}{2-0}=1$；切线：圆心 $(1,0)$ 到直线 $kx-y-2k+2=0$ 距离 $=1$，$\frac{|k-2k+2|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，$(2-k{)}^2=k^2+1$，$k=\frac{3}{4}$。两个交点时 $k\in (\frac{3}{4},1]$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与半圆的位置关系

核心方法：曲线 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 是上半圆，直线过 $(2,2)$，斜率范围 $(\frac{3}{4},1]$。

避坑指南：圆心 $(1,0)$ 半径 $1$ 的上半圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与半圆。

结论推广：数形结合。

方法推广：切线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-25 单-二次方程表示两直线
• 1990-广东理-07 单-动点轨迹方程
• 1990-广东理-22 单-圆上点的最值