1988-全国卷理-14 单-组合计数

本题导读

本题考查排列组合，以及分类加法计数原理。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 假设在 200 件产品中有 3 件次品，现在从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的抽法有 ()

A. ${\text{C}}_3^2{\text{C}}_{197}^3$ 种　　　　　　　　　　　　　　B. ${\text{C}}_3^2{\text{C}}_{197}^3+{\text{C}}_3^3{\text{C}}_{197}^2$ 种 C. ${\text{C}}_{200}^5-{\text{C}}_{197}^5$ 种　　　　　　　　　　　D. ${\text{C}}_{200}^5-{\text{C}}_3^1{\text{C}}_{197}^4$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解关键词： 题目要求抽取的 5 件产品中“至少有 2 件次品”。因为总共只有 3 件次品，所以次品数只能是 2 件或 3 件。
2. 直接法： 将问题分为两类：第一类是恰有 2 件次品（则正品有 3 件）；第二类是恰有 3 件次品（则正品有 2 件）。分别计算后求和。
3. 间接法： 用从 200 件产品中任取 5 件的总抽法数，减去不符合要求的抽法数。不符合要求的情况为：没有次品（即 5 件全为正品）或者只有 1 件次品（即 1 件次品，4 件正品）。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接分类法 将“至少有 2 件次品”的情况分为以下两类：

1. 恰有 2 件次品，3 件正品： 从 3 件次品中选 2 件有 ${\text{C}}_3^2$ 种选法，从 $200-3=197$ 件正品中选 3 件有 ${\text{C}}_{197}^3$ 种选法。根据分步乘法计数原理，此种情况有 ${\text{C}}_3^2{\text{C}}_{197}^3$ 种抽法。
2. 恰有 3 件次品，2 件正品： 从 3 件次品中选 3 件有 ${\text{C}}_3^3$ 种选法，从 197 件正品中选 2 件有 ${\text{C}}_{197}^2$ 种选法。根据分步乘法计数原理，此种情况有 ${\text{C}}_3^3{\text{C}}_{197}^2$ 种抽法。

根据分类加法计数原理，总抽法数为： $N={\text{C}}_3^2{\text{C}}_{197}^3+{\text{C}}_3^3{\text{C}}_{197}^2$ 对照选项，B 选项与之完全吻合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 组合数的实际应用，有限限制条件的计数问题。
2. 核心方法： * 直接分类讨论： 对于“至少”、“至多”问题，当正向分类较少时（本题仅 2 类），直接分类更加直观且不易出错。
3. 避坑指南： * 使用间接法时容易“漏减”。“至少 2 件”的对立面是“0 件或 1 件”，选项 C 只减去了 0 件次品的情况，选项 D 只减去了 1 件次品的情况，均不完整。
   • 注意计算正品数量时，应用总数 200 减去次品数 3 得到 197。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于经典的超几何分布抽样计数问题，是概率论中超几何分布模型的前置技能，常用于产品质量检验的抽样合格率计算。
2. 结论推广： 设总数为 $N$ 的集合中含有 $M$ 个特殊元素（次品）。现从中任取 $n$ 个元素，要求其中至少含有 $k$ 个特殊元素（$k\le M$ 且 $k\le n$），其直接法的组合数表达通式为： ${\sum }_{i=k}^{\min (M,n)}{\text{C}}_M^i{\text{C}}_{N-M}^{n-i}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-14 单-组合计数（至少含次品）
• 1990-广东理-03 单-组合计数含指定元素
• 1991-全国文-10 单-组合计数（分类）