1987-全国卷理-07 单-极坐标方程与曲线

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转换，以及圆的直角坐标标准方程。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 极坐标方程 $\rho =\sin \theta +2\cos \theta$ 所表示的曲线是 ()

A. 直线　　　　　　　B. 圆　　　　　　　C. 双曲线　　　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 调用极坐标与直角坐标的核心转换公式： 引入二维空间中两类坐标系的经典映射不变量： $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$
2. 升次构造转换基底： 观察已知极坐标方程，右侧含有一阶单项式 $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$。为了能直接代入上述转换公式，需要将方程两端无条件同时乘以极径 $\rho$。
3. 识别二次曲线类型： 将转换后的含 $x,y$ 代数多项式移项并进行配方，转化为直角坐标系下的标准曲线方程，直接读取曲线的几何类型。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

已知极坐标方程为： $\rho =\sin \theta +2\cos \theta \text{(1)}$

因为极径 $\rho \ge 0$，在原点（ $\rho =0$ ）时方程 ① 满足 $\sin \theta +2\cos \theta =0$，故原点包含于该曲线内部。 为了将极角项转化为直角坐标分量，将式 ① 的两端同时乘以不变量 $\rho$： ${\rho }^2=\rho \sin \theta +2\rho \cos \theta \text{(2)}$

将极坐标与直角坐标的经典转换恒等式： ${\rho }^2=x^2+y^2,\rho \sin \theta =y,\rho \cos \theta =x\text{(3)}$ 统一注入到式 ② 之中，实现降维转换： $x^2+y^2=y+2x\text{(4)}$

将所有代数项向等式左端靠拢移项： $x^2-2x+y^2-y=0\text{⑤}$

对式 ⑤ 中的 $x$ 变量项与 $y$ 变量项分别执行完全平方配方变换： $\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{4}\text{⑥}$ $(x-1{)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}\text{⑦}$

观察直角坐标方程 ⑦，其完全符合标准圆方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 的拓扑结构。 这表明该曲线是一个以 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 为圆心、以 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 为半径的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的互化（ $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$ ）、圆的直角坐标标准方程。
2. 核心方法：坐标转化代数法。
3. 避坑指南：
   • 不宜在极坐标系下猜测曲线形状。最稳妥的策略是通过全式同乘 $\rho$ 迅速将其“直角坐标化”，利用熟悉的直角坐标解析几何公式来判定。
   • 同乘 $\rho$ 时需要注意 $\rho =0$ （极点）的临界安全。因为配方后的圆方程 ⑦ 当 $x=0,y=0$ 时满足 $(0-1{)}^2+(0-\frac{1}{2}{)}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$，说明圆本身过原点，所以同乘 $\rho$ 的操作在全域拓扑上是完全等价的，未产生任何增根或漏根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高中数学课本《极坐标与参数方程》章节关于圆的极坐标方程的基本推导与性质题。其高等数学背景为平面解析几何中通过极点位于圆周或圆内的二次曲线极坐标一阶傅里叶谐波（Fourier Harmonics）展开表示。
2. 结论推广：在极坐标系中，对于通用的正余弦线性组合方程 $\rho =2a\cos \theta +2b\sin \theta$（其中 $a,b$ 不同时为 0）：
   • 将其转化为直角坐标系，无条件恒等为一个圆： $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=a^2+b^2$；
   • 该圆的几何特征标为：圆心坐标必定为 $(a,b)$，且该圆必然无条件通过坐标原点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 27.01 极坐标与直角坐标互化 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

1989-全国文-07 单-直线关于点的对称 1988-全国文-10 单-两直线平行的充要条件 1990-广东理-22 单-圆上点的最值