1986-广东文-23 单-正弦型函数的单调区间

本题导读

本题考查三角函数单调下降区间的求法。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 函数 $y=\cos x+\sin x$，$x\in [0,2\pi )$ 的单调下降区间（即在该区间内函数为减函数）是 ()

A. $[\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi ]$

B. $[\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}]$

C. $[\pi ,2\pi )$

D. $[\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ]$

E. $[\frac{\pi }{4},\frac{5}{4}\pi ]$

🔍【思路分析】

破题导航

$y=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$，读正弦的减区间。

✅【答案】

Success

E

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$。正弦的递减区间为 $[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ]$，故 $x\in [\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{5\pi }{4}+2k\pi ]$。取 $k=0$ 且限制在 $[0,2\pi )$ 内，得 $[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]$。故选 E。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的单调区间

核心方法：$y=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$，减区间 $k\pi +\frac{\pi }{4}\le x\le k\pi +\frac{5\pi }{4}$。

避坑指南：$k=0$ 得 $[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]$，选 E。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1988 全国文第 13 题同考正弦函数单调区间。

结论推广：$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的单调区间由 $\omega x+\phi$ 的区间平移得到。

方法推广：先化 $y=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 再读区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-13 单-正弦函数的单调区间
• 1999-广东-04 单-三角函数的单调区间