1985-广东理-27 单-点到直线的距离与最值

本题导读

本题考查点到直线的距离与代数最值。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 如果实数 $x$ 与 $y$ 满足方程 $x+y-4=0$，则 $x^2+y^2$ 的最小值是 ()

A. $4$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $10$　　　　　　　E. $12$

🔍【思路分析】

破题导航

$x^2+y^2$ 是点 $(x,y)$ 到原点距离的平方，其最小值即原点到直线的距离平方。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

点 $(x,y)$ 在直线 $x+y-4=0$ 上，$x^2+y^2$ 是点到原点距离的平方。原点到直线的距离 $d=\frac{|0+0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，故最小值为 $d^2=8$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离与最值

核心方法：点到直线距离公式

避坑指南：$x^2+y^2$ 的最小值是原点到直线距离的平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何最值的代数转化

结论推广：$x^2+y^2$ 的最小值即距离平方

方法推广：距离公式与最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-03 填-点到直线的距离
• 1987-广东文-07 单-圆上点到直线的距离