1985-广东理-26 单-直角边在平面上的射影

本题导读

本题考查直角三角形在平面上的射影图形。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$ 在平面 $\alpha$ 内，顶点 $A$ 在平面 $\alpha$ 外，则 $△ABC$ 的两条直角边在平面 $\alpha$ 上的射影与斜边 $BC$ 所组成的图形只能是 ()

A. 一条线段

B. 一个锐角三角形

C. 一个钝角三角形

D. 一条线段或一个钝角三角形

E. 一条线段或一个锐角三角形

🔍【思路分析】

破题导航

射影可为钝角三角形（$A$ 投影在斜边外）或线段（退化）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $A$ 在 $\alpha$ 上的投影为 $A\prime$。两条直角边 $AB,AC$ 的射影为 $A\prime B,A\prime C$，与斜边 $BC$ 组成 $△A\prime BC$。因 $\angle A=90^{\circ }$，$A$ 在以 $BC$ 为直径的圆上，故 $A\prime$ 在圆内或圆上或圆外。当 $A\prime$ 在圆外时，$\angle BA\prime C<90^{\circ }$？精确分析：$△A\prime BC$ 中 $BC$ 为斜边对应的是直角三角形的斜边，射影后 $BC$ 仍为最长边，故 $\angle A\prime$ 为钝角或图形退化为线段。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角边在平面上的射影

核心方法：分类讨论射影的图形

避坑指南：射影可为线段或钝角三角形，视 $A$ 的投影位置

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间图形的射影

结论推广：直角边射影与斜边的图形分类

方法推广：射影的分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-19 单-抛物线焦点弦的射影
• 1986-广东文-25 单-空间命题的真假