1985-上海理-23 解-轨迹方程

本题导读

本题考查含参直线与曲线交点的轨迹问题。核心在于参数化交点并利用因式分解消去参数。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 已知直线 $y=x+m$ 和曲线 $x^3+2y^3+y^4-1=0$ 交于 $A$，$B$ 两点，$P$ 是这条直线上的点，且 $|PA|\cdot |PB|=2$.求：当 $m$ 变化时，点 $P$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $P=(x,y)$，$A=(x+u,y+u)$，$B=(x+v,y+v)$，由 $|PA|\cdot |PB|=2$ 得 $|uv|=1$，代入曲线方程后因式分解消参。

✅【答案】

Success

轨迹为一条十二次代数曲线的实分支（见解析），不是二次曲线

✍【详细解析】

Abstract

设 $P=(x,y)$，直线方向向量 $(1,1)$，可设 $A=(x+u,y+u)$，$B=(x+v,y+v)$，则 $|PA|=\sqrt{2}|u|$，$|PB|=\sqrt{2}|v|$，条件 $|uv|=1$，即 $\epsilon =uv$，$\epsilon =1$ 或 $-1$，记 $s=u+v$。把点 $(x+t,y+t)$ 代入曲线得 $G(t)=t^4+c_3{t}^3+c_2{t}^2+c_{1}t+c_0$，其中 $c_3=4y+3$，$c_2=3x+6y^2+6y$，$c_1=3x^2+4y^3+6y^2$，$c_0=x^3+2y^3+y^4-1$。因 $t=u,t=v$ 对应交点且 $uv=\epsilon$，故 $t^2-st+\epsilon$ 是 $G(t)$ 的因式。设另一因式 $t^2+qt+r$，比较得 $q=c_3+s$，$r=\epsilon c_0$。比较二次项、一次项得条件组：$s^2+c_{3}s+c_2-\epsilon c_0-\epsilon =0$ 与 $\epsilon (1-c_0)s+\epsilon c_3-c_1=0$。当 $c_0\ne 1$ 时消去 $s$ 得轨迹方程；当 $c_0=1$ 时用二元条件组。还需取 $s^2-4\epsilon >0$ 且 $(c_3+s{)}^2-4\epsilon c_0<0$ 的分支。故点 $P$ 的轨迹是这两种符号对应的十二次代数曲线的实分支，不是圆、椭圆、抛物线或双曲线等二次曲线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程

核心方法：设交点参数 + 因式分解消去参数

避坑指南：轨迹为十二次代数曲线，非二次曲线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹方程是解析几何压轴

结论推广：含参直线与曲线交点轨迹问题

方法推广：参数化交点 + 因式分解消参

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-34 解-抛物线与圆的交点
• 1988-上海-09 填-动点轨迹方程