1985-上海理-08 填-指数方程

本题导读

本题考查指数方程的解法。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 方程 $9^x-7\cdot 3^x-18=0$ 的解是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=3^x$，化二次方程 $t^2-7t-18=0$。

✅【答案】

Success

$x=2$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=3^x>0$，则 $9^x=t^2$，原方程化为 $t^2-7t-18=0$，即 $(t-9)(t+2)=0$。因 $t>0$，只能取 $t=9=3^2$，故 $x=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程

核心方法：换元 $t=3^x$ 化二次方程

避坑指南：$t>0$ 舍去负根 $t=-2$，只取 $t=9$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数方程换元是经典套路

结论推广：$a^{2x}-7a^x-18=0$ 型均可换元

方法推广：注意指数函数值域为正

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-01 填-指数方程
• 1987-广东文-04 单-指数方程