1983-全国文-10 解-仰角测量旗杆高度

本题导读

本题考查仰角测量的立体测高问题。核心在于由仰角定水平距离，再用余弦定理求高。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)） 如图，地平面上有一旗杆 $OP$，为了测得它的高度 $h$，在地面上选一基线 $AB$，$AB=20$ 米，在 $A$ 点处测得 $P$ 点的仰角 $\angle OAP=30^{\circ }$，在 $B$ 点处测得 $P$ 点的仰角 $\angle OBP=45^{\circ }$，又测得 $\angle AOB=60^{\circ }$，求旗杆的高度 $h$（结果可以保留根号）.

🔍【思路分析】

破题导航

由仰角 $OA=h\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}h$，$OB=h\cot 45^{\circ }=h$，在 $△AOB$ 中用余弦定理。

✅【答案】

Success

$h=\frac{20}{\sqrt{4-\sqrt{3}}}$ 米

✍【详细解析】

Abstract

设 $O$ 为旗杆底部，$OP\perp$ 地面，$OP=h$。在直角 $△OAP$ 中，$OA=\frac{h}{\tan 30^{\circ }}=\sqrt{3}h$；在直角 $△OBP$ 中，$OB=\frac{h}{\tan 45^{\circ }}=h$。在 $△AOB$ 中，由余弦定理 $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2OA\cdot OB\cos 60^{\circ }$，即 $20^2=3h^2+h^2-2\sqrt{3}{h}^2\cdot \frac{1}{2}=(4-\sqrt{3})h^2$。故 $h^2=\frac{400}{4-\sqrt{3}}$，$h=\frac{20}{\sqrt{4-\sqrt{3}}}$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：仰角测量旗杆高度

核心方法：仰角与余弦定理

避坑指南：由仰角定 $OA=\sqrt{3}h$、$OB=h$，再用 $\angle AOB=60^{\circ }$ 余弦定理求 $h$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测量问题的解三角形

结论推广：仰角、基线构成的立体测高模型

方法推广：余弦定理测高

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁文-18 解-仰角测量解三角形
• 2006-上海文-18 解-余弦定理解三角形方位角