1977-广东-05 解-仰角测山高

本题导读

本题考查解三角形测量应用。核心在于 $\angle ACB=70^{\circ }-40^{\circ }=30^{\circ }$，先求 $BC$ 再落回直角三角形求 $BD$。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 已知小山上的电视发射塔 $AB$ 的高是50米，自山下地面的 $C$ 点测得塔底 $B$ 的仰角是 $40^{\circ }$，塔顶 $A$ 的仰角是 $70^{\circ }$，求小山 $BD$ 的高.（精确到0.01米，$\sin 40^{\circ }=0.643$，$\sin 20^{\circ }=0.342$）

🔍【思路分析】

破题导航

$△ABC$ 中 $\angle A=20^{\circ }$、$\angle ACB=30^{\circ }$，正弦定理求 $BC$；直角 $△BDC$ 中 $BD=BC\sin 40^{\circ }$。

✅【答案】

Success

小山 $BD$ 的高约为21.99米

✍【详细解析】

Abstract

$\angle A=180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }$，$\angle ACB=70^{\circ }-40^{\circ }=30^{\circ }$。在 $△ABC$ 中，由正弦定理得 $BC=\frac{AB\sin A}{\sin \angle ACB}=\frac{50\times \sin 20^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=100\sin 20^{\circ }$。在直角 $△BDC$ 中，$BD=BC\sin 40^{\circ }=100\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }=100\times 0.342\times 0.643\approx 21.99$ 米。答：小山 $BD$ 的高约为21.99米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：仰角测山高

核心方法：正弦定理两跳

避坑指南：先在 $△ABC$ 求 $BC$，再在直角 $△BCD$ 求 $BD$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形测量

结论推广：$BD=100\sin 20^{\circ }\sin 40^{\circ }\approx 21.99$ 米

方法推广：塔在山上：塔底仰角与塔顶仰角之差是 $\angle ACB$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-安徽文-08 解-俯角测山高
• 1983-全国文-10 解-仰角测量旗杆高度