1983-全国文-08 解-复数三角形式与倍角公式

本题导读

本题考查复数三角形式与倍角公式。核心在于棣莫弗公式与 $z^n+z^{-n}$ 的化简。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)） 已知复数 $z=\cos \alpha +i\sin \alpha$，求证：$z^3+\frac{1}{z^3}=2\cos 3\alpha$.

🔍【思路分析】

破题导航

由棣莫弗公式 $z^3=\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha$，$\frac{1}{z^3}=\cos 3\alpha -i\sin 3\alpha$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由棣莫弗公式，$z^3=(\cos \alpha +i\sin \alpha {)}^3=\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha$。又 $z\bar{z}=1$ 且 $\frac{1}{z}=\bar{z}=\cos \alpha -i\sin \alpha$，故 $\frac{1}{z^3}=\cos 3\alpha -i\sin 3\alpha$。两式相加得 $z^3+\frac{1}{z^3}=(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha )+(\cos 3\alpha -i\sin 3\alpha )=2\cos 3\alpha$。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数三角形式与倍角公式

核心方法：棣莫弗公式与倍角

避坑指南：$z^3+z^{-3}=\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha +\cos 3\alpha -i\sin 3\alpha =2\cos 3\alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的三角形式

结论推广：$z^n=\cos n\alpha +i\sin n\alpha$（棣莫弗）

方法推广：棣莫弗公式与倍角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式