1983-全国文-07 解-函数定义域与组合计数

本题导读

本题考查函数定义域与”至少一个”型组合计数。核心在于定义域的交集求法与补集计数。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)） (1) 求函数 $y=\sqrt{x+5}{\log }_2(36-x^2)$ 的定义域.

(2) 一个小组共有 10 名同学，其中 4 名是女同学，6 名是男同学.要从小组内选出 3 名代表，其中至少有 1 名女同学，求一共有多少种选法.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $x+5\ge 0$ 且 $36-x^2>0$；(2) 总数 $C_{10}^3$ 减去全男 $C_6^3$。

✅【答案】

Success

(1) $[-5,6)$；(2) $100$ 种

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\sqrt{x+5}$ 得 $x+5\ge 0$，即 $x\ge -5$；由 ${\log }_2(36-x^2)$ 得 $36-x^2>0$，即 $-6<x<6$。两者取交集得 $-5\le x<6$，故定义域为 $[-5,6)$。

(2) 从 10 人中选 3 人的总数为 $C_{10}^3=120$。其中不含女同学（即全选男同学）的选法为 $C_6^3=20$。故至少有 1 名女同学的选法为 $120-20=100$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数定义域与组合计数

核心方法：定义域与互补计数

避坑指南：定义域联立被开方数与真数；选代表用「总数−全男」或分类

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数定义域与计数原理

结论推广：根式、对数定义域的交集；至少一类计数

方法推广：交集法与补集法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-06 填-根式分式函数的定义域
• 1991-全国文-05 单-异面直线的计数