1982-全国文-04 解-平方差与完全平方求值

本题导读

本题考查由两式和、平方和求差的代数变形。核心在于平方差公式与完全平方的互化。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 已知 $x-y=\frac{1}{2}$，$x^2+y^2=1$，求 $x^2-y^2$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $(x-y{)}^2=\frac{1}{4}$ 得 $2xy=\frac{3}{4}$，进而 $(x+y{)}^2=\frac{7}{4}$，$x+y=\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$。

✅【答案】

Success

$\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $(x-y{)}^2=x^2+y^2-2xy$，即 $\frac{1}{4}=1-2xy$，得 $2xy=\frac{3}{4}$。于是 $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$，故 $x+y=\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$。所以 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=\frac{1}{2}\times \left(\pm \frac{\sqrt{7}}{2}\right)=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平方差与完全平方求值

核心方法：平方差公式整体代入

避坑指南：$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，由 $(x+y{)}^2=(x-y{)}^2+4xy$ 求 $x+y$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：代数式的变形求值

结论推广：$(x\pm y{)}^2$ 与 $x^2\pm y^2$、$xy$ 的关系

方法推广：平方差整体代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-21 解-代数式有意义的条件
• 1985-广东理-08 填-奇函数性质求值