1980-全国理-06 解-三角函数的最值与周期

本题导读

本题考查正弦型函数的极值与最小正周期，以及“任意整数区间内必取到极值”的充要条件。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 6. 设三角函数 $f(x)=\sin \left(\frac{kx}{5}+\frac{\pi }{3}\right)$，其中 $k\ne 0$.

(1) 写出 $f(x)$ 极大值 $M$、极小值 $m$ 与最小正周期 $T$；

(2) 试求最小的正整数 $k$，使得当自变量 $x$ 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 $f(x)$ 至少有一个值是 $M$ 与一个值是 $m$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 正弦值域 $[-1,1]$，故 $M=1,m=-1$；角频率 $k/5$，故 $T=10\pi /|k|$。(2) 要使任意相邻整数区间内都含一个最大值和一个最小值，需 $T\le 1$，即 $|k|\ge 10\pi$，最小正整数 $k=32$。

✅【答案】

Success

(1) $M=1$，$m=-1$，$T=\frac{10\pi }{|k|}$ (2) $k=32$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 正弦函数的值域为 $[-1,1]$，故 $f(x)$ 的极大值为 $M=1$，极小值为 $m=-1$。其中 $x$ 的系数为 $\frac{k}{5}$，所以最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{|k/5|}=\frac{10\pi }{|k|}$。 (2) 欲求最小正整数，以下设 $k\in {\mathbf{Z}}_{>0}$。在每一个长度为 $T$ 的闭区间内，正弦函数的相位增加 $2\pi$，因此至少各出现一次最大值 $M$ 和最小值 $m$。所以当 $T\le 1$ 时，任意两个相邻整数 $n$ 与 $n+1$ 所确定的区间 $[n,n+1]$ 都包含其子区间 $[n,n+T]$，从而其中至少各有一个值为 $M$ 和 $m$。两个不相邻整数所确定的区间包含某个相邻整数区间，故同样满足题意。 反过来设 $T>1$。函数取最大值的点为 $x_j=\frac{5\pi }{6k}+jT$（$j\in \mathbf{Z}$），相邻两点之间的距离为 $T$。令 $n_j=\lfloor x_j\rfloor$。因为 $T>1$，所以 $n_{j+1}-n_j\ge 1$。若对所有 $j\ge 0$ 都有 $n_{j+1}-n_j=1$，则令 $r_j=x_j-n_j$，有 $r_j=r_0+j(T-1)$；当 $j$ 足够大时 $r_j\ge 1$，这与 $0\le r_j<1$ 矛盾。因而存在某个 $j\ge 0$，使 $n_{j+1}-n_j\ge 2$。又因为 $x_j=\frac{5+60j}{6k}\pi$ 不是整数，所以 $x_j<n_j+1$，且 $x_{j+1}>n_j+2$。因此闭区间 $[n_j+1,n_j+2]$ 完全位于相邻两个最大值点 $x_j,x_{j+1}$ 之间，不含最大值 $M$，题意不成立。所以题意的充要条件为 $T\le 1$。 于是 $\frac{10\pi }{k}\le 1$，即 $k\ge 10\pi$。因为 $31<10\pi <32$，最小的正整数为 $k=32$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值与周期

核心方法：周期与极值

避坑指南：正弦值域 $[-1,1]$ 得极值，周期 $T=10\pi /|k|$；任意整数区间含极值 $\iff T\le 1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数

结论推广：周期与极值的关系

方法推广：周期公式与分类讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1958-河北-02 解-正弦型函数周期与图象
• 1977-江西-13 填-正弦型函数振幅周期