1979-全国理-08 解-圆幂定理与相似

本题导读

本题考查圆内接矩形与切线构成的线段比例，用相似与点幂定理连环代换证得立方比。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 8. 设 $CEDF$ 是一个已知圆的内接矩形，过 $D$ 作该圆的切线与 $CE$ 的延长线相交于点 $A$，与 $CF$ 的延长线相交于点 $B$. 求证：$\frac{B{F}^3}{A{E}^3}=\frac{B{C}^3}{A{C}^3}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由矩形与切线得 $\angle ACB=90^{\circ }$；设 $\angle ACD=u$，用正切、正余弦表出 $AD,AC,BD,BC$，得 $\frac{BD}{AD}=\frac{B{C}^2}{A{C}^2}$；再用点幂 $A{D}^2=AE\cdot AC,B{D}^2=BF\cdot BC$ 代换即得。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

因为 $CEDF$ 是矩形，且 $A,C,E$ 共线、$B,C,F$ 共线，所以 $CE\perp CF$，从而 $\angle ACB=90^{\circ }$。矩形的对角线 $CD$ 是圆的直径，过 $D$ 的切线 $AB$ 垂直于 $CD$，所以 $△ACD$ 和 $△BCD$ 都是直角三角形。设 $\angle ACD=u$，则 $\angle BCD=90^{\circ }-u$。 在直角三角形 $ACD$ 中，$AD=CD\tan u,AC=\frac{CD}{\cos u}$；在直角三角形 $BCD$ 中，$BD=CD\cot u,BC=\frac{CD}{\sin u}$。因此 $\frac{BD}{AD}={\cot }^{2}u=\frac{B{C}^2}{A{C}^2}$。 由点幂定理，在点 $A$ 处有 $A{D}^2=AE\cdot AC$， 在点 $B$ 处有 $B{D}^2=BF\cdot BC$。 于是 $\frac{BF}{AE}=\frac{B{D}^2/BC}{A{D}^2/AC}={\left(\frac{BD}{AD}\right)}^2\frac{AC}{BC}={\left(\frac{B{C}^2}{A{C}^2}\right)}^2\frac{AC}{BC}=\frac{B{C}^3}{A{C}^3}$。 所以命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆幂定理与相似

核心方法：由切线与相似得 $\frac{BD}{AD}=\frac{B{C}^2}{A{C}^2}$，再用点幂代换

避坑指南：点幂定理把线段乘积转化为比例，避免直接算长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆幂定理

结论推广：切线与割线定理的推广

方法推广：相似比连环代换

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1957-全国-08 解-切线构图证比例与等积
• 1959-全国-05 解-圆幂定理证切线等长