1978-全国卷-03 解-圆的切线与相似证明

本题导读

本题是圆中几何证明题，利用切线、直径所对圆周角及垂线构造全等三角形完成证明。

📌【题干】

Question

（1978年全国卷） 3. 如图，$AB$ 是半圆的直径，$C$ 是半圆上一点，直线 $MN$ 切半圆于 $C$ 点，$AM\perp MN$ 于 $M$ 点，$BN\perp MN$ 于 $N$ 点，$CD\perp AB$ 于 $D$ 点. 求证：

(1) $CD=CM=CN$;

(2) $C{D}^2=AM\cdot BN$.

🔍【思路分析】

破题导航

连结 $OC$，由切线性质得 $OC\perp MN$，进而 $OC$ 是梯形 $AMNB$ 的中位线，故 $CM=CN=OC\cdot \sin \angle OCM$；结合 $CD=OC\cdot \sin \angle COD$ 及 $\angle OCM=\angle COD$ 得 $CD=CM=CN$。再由 $AM\cdot BN=(OC-MD)(OC+MD)=O{C}^2-M{D}^2=C{D}^2$ 得证。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设半圆圆心为 $O$，半径为 $r$，连结 $OC$。因为 $MN$ 切半圆于 $C$，所以 $OC\perp MN$。 又 $AM\perp MN$，$BN\perp MN$，所以 $AM\parallel OC\parallel BN$。由于 $O$ 是 $AB$ 的中点，$OC$ 是梯形 $AMNB$ 的中位线，因此 $M$、$N$ 关于过 $C$ 且平行于 $AB$ 的直线对称，$CM=CN$。 设 $\angle CAB=\alpha$，则 $\angle COB=2\alpha$，$\angle OCM=\angle COB=2\alpha$（弦切角等于所对圆周角）。而 $CD=r\sin 2\alpha$，$CM=OC\sin \angle OCM=r\sin 2\alpha$，故 $CD=CM=CN$。 由梯形中位线性质，$AM=r-r\cos 2\alpha$，$BN=r+r\cos 2\alpha$。于是 $AM\cdot BN=r^2(1-{\cos }^{2}2\alpha )=r^2{\sin }^{2}2\alpha =C{D}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线与相似证明

核心方法：连结圆心与切点，利用切线长相等、弦切角与直径所对圆周角证全等或相似

避坑指南：先证 $CM=CN$，再证 $CD=CM$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线性质

结论推广：弦切角、切线长、直径所对圆周角是圆中证明的常用工具

方法推广：构造全等或相似

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1953-全国-07 解-相似三角形的条件
• 1957-全国-08 解-切线构图证比例与等积
• 1979-全国理-08 解-圆幂定理与相似