1977-青海-03 解-长方体对角线求体积

本题导读

本题考查长方体对角线求体积。核心在于对角线夹角 120° 的补角 60° 得 AC′=2C′C，勾股定理反解高。

📌【题干】

Question

（1977年青海卷） 已知长方体 $ABCD-A\prime B\prime C\prime D\prime$ 的对角线 $AC\prime$ 与 $A\prime C$ 的夹角 $\angle AOC=120^{\circ }$，底面边长 $AB=4$ cm，$BC=3$ cm.求此长方体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

$\angle COC\prime =60^{\circ }$，$CO=C\prime O$ 得 $\angle C\prime AC=30^{\circ }$，故 $AC\prime =2C\prime C$；$AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$，由 $(2C\prime C{)}^2-5^2=C\prime C^2$。

✅【答案】

Success

$20\sqrt{3}$ cm³

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\angle AOC=120^{\circ }$，所以 $\angle COC\prime =180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。又 $CO=C\prime O$，故 $\angle OCC\prime =\angle OC\prime C=60^{\circ }$。连接 $AC$，在 Rt$△ACC\prime$ 中 $\angle C\prime AC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$，所以 $AC\prime =2C\prime C$。由勾股定理 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，于是 $(2C\prime C{)}^2-5^2=C\prime C^2$，即 $3C\prime C^2=25$，$C\prime C=\frac{5\sqrt{3}}{3}$。故体积 $V=AB\times BC\times C\prime C=4\times 3\times \frac{5\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}$（cm³）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体对角线求体积

核心方法：对角线夹角 120° 求高，勾股定理求底面对角线，再体积

避坑指南：∠COC′=60°、∠C′AC=30° 得 AC′=2C′C；AC=5，由 (2C′C)²-5²=C′C² 得 C′C=5√3/3，V=20√3。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于长方体对角线，考查空间几何求体积。

结论推广：长方体体对角线夹角与勾股定理联立可反解高。

方法推广：由 120° 补角 60° 得 AC′=2C′C 是本题核心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-河南-07 解-长方体体积
• 1977-北京文-05 解-棱柱的体积