1977-河南-07 解-长方体体积

本题导读

本题考查长方体体积。核心在于由线面角得 $A{A}_1=L\sin \alpha$、$AC=L\cos \alpha$，底面积用对角线夹角公式 $S=\frac{1}{2}A{C}^2\sin \beta$，相乘收尾。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 已知长方体的对角线长为 $L$，它与底面所成的角为 $\alpha$，底面两条对角线的夹角为 $\beta$，求长方体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

$A{A}_1=L\sin \alpha$，$AC=L\cos \alpha$；底面积 $S=\frac{1}{2}A{C}^2\sin \beta =\frac{1}{2}{L}^2{\cos }^2\alpha \sin \beta$；$V=A{A}_1\times S$。

✅【答案】

Success

$V=\frac{1}{2}{L}^3{\cos }^2\alpha \sin \alpha \sin \beta$

✍【详细解析】

Abstract

$A{A}_1=L\sin \alpha$，$AC=L\cos \alpha$。因此底面矩形 $ABCD$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}A{C}^2\sin \beta =\frac{1}{2}{L}^2{\cos }^2\alpha \sin \beta$。因此长方体的体积 $V=A{A}_1\times S=L\sin \alpha \cdot \frac{1}{2}{L}^2{\cos }^2\alpha \sin \beta =\frac{1}{2}{L}^3{\cos }^2\alpha \sin \alpha \sin \beta$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体体积

核心方法：解三角形底面积

避坑指南：$A{A}_1=L\sin \alpha$、$AC=L\cos \alpha$、$S=\frac{1}{2}A{C}^2\sin \beta$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：体积

结论推广：$V=\frac{1}{2}{L}^3{\cos }^2\alpha \sin \alpha \sin \beta$

方法推广：底面对角线算面积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-08 单-长方体对角线最值