1977-重庆-04 解-代数恒等式证明

本题导读

本题考查代数恒等式证明。核心在于负指数化分式、平方差约分，末段合成 $(m+x{)}^2-1$。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 试证明：$\left[(2m{)}^0-(m+x{)}^{-2}\right]÷{\left[(2x{)}^0-(m+x{)}^{-1}\right]}^2\cdot \left[2m^0-1-\frac{(m-x{)}^2}{2mx}\right]=\frac{(m+x+1{)}^2}{2mx}$.

🔍【思路分析】

破题导航

零指数、负指数先化：$1-\frac{1}{(m+x{)}^2}$ 除以 ${\left(1-\frac{1}{m+x}\right)}^2$；第三因式通分合并。

✅【答案】

Success

恒等式成立（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

证明：左边 $=\left(1-\frac{1}{(m+x{)}^2}\right)÷{\left(1-\frac{1}{m+x}\right)}^2\cdot \left[2-1-\frac{(m-x{)}^2}{2mx}\right]=\frac{(m+x{)}^2-1}{(m+x{)}^2}÷\frac{(m+x-1{)}^2}{(m+x{)}^2}\cdot \frac{4mx-1+m^2-2mx+x^2}{2mx}=\frac{(m+x-1)(m+x+1)}{(m+x{)}^2}\cdot \frac{(m+x{)}^2}{(m+x-1{)}^2}\cdot \frac{m^2+2mx+x^2-1}{2mx}=\frac{m+x+1}{m+x-1}\cdot \frac{(m+x{)}^2-1}{2mx}=\frac{m+x+1}{m+x-1}\cdot \frac{(m+x-1)(m+x+1)}{2mx}=\frac{(m+x+1{)}^2}{2mx}=$ 右边，恒等式成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：代数恒等式证明

核心方法：逐项化简约分

避坑指南：$1-\frac{1}{(m+x{)}^2}$ 与 $1-\frac{1}{m+x}$ 配平方差

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：代数证明

结论推广：$(m+x+1{)}^2/(2mx)$

方法推广：负指数先化分式再约

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色文-05 解-因式分解两题
• 1977-安徽文-02 解-根式与对数化简